基于LQR球杆系统的控制方法研究与设计仿真(9)
在工程实际上总是希望这样来控制系统：使系统输出尽量接近某一希望输出。若令y_l (t)表示 l文希望输出向量，则
e(t)=y_l (t)- y(t) (4.2)
称为误差向量。要求确定最优控制u^* (t),使下列二次型性能指标极小：
J=1/2 e^T (t_f )Fe(t_f )+1/2 ∫_(t_0)^(t_f)▒[e^T (t)Q(t)e(t)+u^T (t)R(t)u(t)]dt (4.3)
式中F为l×l文对称非负定长阵，Q(t)为l×l对称非负定时变矩阵，R(t)为m×m文对称正定时变矩阵，初始时刻t_0和末端时刻t_f固定。在之后的问题讨论中，若非特别指出，以上假定始终满足。
为了便于工程应用，性能指标（4.3）中的权矩阵F、Q(t)和R(t)往往取为对角型矩阵，则其对称性自然满足。需要指出的是，如何根据系统的实际要求选择加权矩阵的诸元，绝不是一个简单的问题，其理论和方法至今尚未能很好的解决。
在二次型性能指标（4.3）中，其各项都有明确的物理含义。现分述如下。
末值项
φ[e(t_f )]=1/2 e^T (t_f ) Fe(t_f ) (4.4)
不失一般性，取F=I,表示对末态误差要求的各元加权，则有
e^T (t_f ) e(t_f )=‖e(t_f )‖^2=├ (√(e_1^2+e_2^2+⋯+e_l^2 ))^2 ┤|_(t=t_f )
此时，末值项表示t_f的跟踪误差，即末态误差向量e(t_f )与希望的零向量之间距离平方和。
当F≥0时，表示对末态跟踪误差的各元有不同的要求。若取
F=diag{f_1,f_2⋯,f_l,}≥0
则式（4.4）可以表示为
φ[e(t_f )]=1/2 ∑_(i=1)^l▒〖f_i e_i^2 (t_f ) 〗
式中系数1⁄2是为了便于计算，此时，末值项表示末态跟踪误差向量e(t_f )与希望的零向量之间的距离加权平方和。
由此可见，二次型性能指标中的末值项，表示在控制结束后，对系统末态跟踪误差的要求。由于在有限时间t_f内，系统难以实现e(t_f )=0，因此要求φ[e(t_f )]位于零的某一邻域内，既符合工程实际情况，又易于满足。
如果对末态跟踪误差不必限制，则可取F=0.此时性能指标J变为积分型。
第一过程项
∫_(t_0)^(t_f)▒〖L_e dt〗=1/2 ∫_(t_0)^(t_f)▒〖e^T (t)Q(t)e(t)dt〗 (4.5)
若取
Q(t)=diag{q_1(t) ,q_2(t) ,⋯q_l(t) }≥0
则有
L_e=1/2 e^T (t)Q(t)e(t)=1/2 ∑_(i=1)^l▒〖q_i (t) e_i^2 (t) 〗≥0
于是式（4.5）可以表示为
∫_(t_0)^(t_f)▒〖L_e dt〗=1/2 ∫_(t_0)^(t_f)▒〖∑_(i=1)^l▒〖q_i (t) e_i^2 (t) 〗 dt〗
上式表明，第一过程项表示在系统控制过程中，对动态跟踪误差加权平方和的积分要求，是系统在运动过程中动态跟踪误差的总度量。
第二过程项
∫_(t_0)^(t_f)▒〖L_u dt〗=1/2 ∫_(t_0)^(t_f)▒〖u^T (t)R(t)u(t)dt〗 (4.6)
若取
R(t)= diag{r_1(t) ,r_2(t) ,⋯r_m(t) }>0
则有
L_u=1/2 u^T (t)R(t)u(t)=1/2 ∑_(i=1)^m▒〖r_i (t) u_i^2 (t)>0〗
于是式（4.6）可以表示为
∫_(t_0)^(t_f)▒〖L_u dt〗=1/2 ∫_(t_0)^(t_f)▒〖∑_(i=1)^m▒〖r_i (t) u_i^2 (t) 〗 dt〗
上式表明，第二过程项表示在系统控制过程中，对系统加权后的控制能量消耗的总度量。