基于LQR球杆系统的控制方法研究与设计仿真(6)
K_m=1/C_e
K_c=T_m/J_0
其中：J_0为折算到电机轴的等效转矩;
b_0为等效到电机轴的摩擦力;
R_a为电枢回路电阻；
C_e,C_m分别为电动机的电势常数和转矩常数；
M_c为折算到电动机轴上总负载转矩。
因此电机位置和误差信号的传递函数为：
(β(s))/(E_v (s))=(K_1 K_2)/(s(L_a s+R_a)(J_0 s+b_0)+K_2 K_3 s) (2.21)
伺服系统的闭环结构如下：
图2.4 闭环系统机构图
设皮带轮的减速比为n：
C(s)=nβ(s)
前向传递函数为：
G(s)=(C(s)β(s)E_v (s))/(β(s)E_v (s)E(s))=(K_0 K_1 K_2 n)/(s[(L_a s+R_a)(J_0 s+b_0)+K_2 K_3]) (2.22)
因为L_a很小，因此可以简化得到：
G(s)=(K_0 K_1 K_2 n)/(s[R_a (J_0 s+b_0)+K_2 K_3])=(K_0 K_1 K_2 n⁄R_a )/(J_0 s^2+(b_0+(K_2 K_3)/R_a )s) (2.23)
上式可以化简如：
G(s)=K/(Js^2+Bs) (2.24)
或：
G(s)=K_n/(s(T_n s+1)) (2.25)
其中：K_n=K/B .
T_n=J/B=(R_a J_0)/(R_a b_0+K_2 K_3 ) .
球杆系统采用电位计检测小球的位置，电位计安装在横杆上，小球位置对应的电压信号输送给IPM100智能驱动的AD转换器，如图4所示。
图3.4小球位置信号采集示意图
联合式（2.7）（2.8）（2.14）和（2.20）可得到系统的非线性模型公式：
{█(r ̈=mg/((J/R^2 +m) ) α=-mgd/L(J/R^2 +m) θ@θ=R_1/R_2 β@sinα=(√(l^2-[(d-dcosθ)-(L-Lcosα)]^2 )-(l-dsinθ))/L @T_m=(d^2 β)/(dt^2 )+dβ/dt=K_m u_a-K_c M_c )┤ （2.26）
3 球杆系统的频率响应控制方法研究
3.1 球杆系统的开环模型
球杆系统是一个典型的单输入单输出系统，通过式（2.2）可知，其传递函数可以近似为一个两阶的积分器。
图3.1开环系统
其中
W（s）=X(s)/θ(s) =mgd/L(J/R^2 +m) 1/s^2 =c 1/s^2 (3.1)
为开环传递函数的拉普拉斯变换。X(s)和θ(s)分别为系统输出（小球的位置）和输入（大齿轮的角度）的拉普拉斯变换，开环系统的阶跃响应如图3.2所示，可以看出，系统不稳定，需要对其添加控制器。
图3.2球杆系统开环响应
3.2 基于频率响应控制方法研究
用频率响应法对系统进行校正的基本思路是通过超前校正装置的引入，改变开环对数幅频特性中频段的斜率，即使校正后系统的开环对数幅频特性具有如下特点：低频段的增益满足稳态精度的要求；中频段对数幅频特性渐进线的斜率为-20dB/dec，并具有较宽的频带，这一要求是为了系统具有满意的动态性能；在高频区域要求幅值能迅速衰减，以抑制高频噪声的影响。设计要求为调整时间少于1s，超调量少于5%。
频率响应法能卓有成效地用于线性定常系统的分析与设计。与其他方法比较，频率响应法具有如下的特点。