基于LQR球杆系统的控制方法研究与设计仿真(13)
Q_1=[800,0,0,0;0,200,0,0;0,0,10,0;0,0,0,100]
Q_2=[800,0,0,0;0,200,0,0;0,0,10,0;0,0,0,400]
图5.5 系统在不同Q值下的响应
从图5.5中可以看出，加权矩阵Q_2下的系统阶跃响应的超调量和调节时间都大于加权矩阵Q_1下的超调量和调节时间，但最终中情况下的稳态误差一样大。可见当对球杆系统中各项状态量赋予不同的权值时，系统的响应不同，不同的Q值，系统的超调量、调节时间都将不同，因此，二次最优控制中加权矩阵Q的选取非常重要，实验过程中需要根据各个状态量的重要性合理选择加权矩阵Q，同时需要对系统进行多次调试，以获得最佳控制效果。
现对加权矩阵Q作优化。首先固定加权矩阵Q的后三文向量不变，筛选第一文向量，使系统的控制效果达到最优，经多次选取，代入Simulink仿真达到此时的最优加权矩阵Q=[800,0,0,0;0,1,0,0;0,0,8,0;0,0,0,70]，在MATLAB中计算出K =（282.8427 440.4839 238.5314 60.0537），将反馈矩阵K代入Simulink仿真，得到结果如图5.6所示
图5.6 Q第一文向量筛选后的球杆系统的阶跃响应
由图5.6可知，系统的稳态误差为0，调节时间为4.9s，超调量为8.2%，可见系统的超调偏大。按照上述规律，依次对第二文、第三文、第四文进行优化，得到最终的优化Q矩阵即Q=[800,0,0,0;0,200,0,0;0,0,8,0;0,0,0,70]，状态反馈矩阵K=(282.8427 469.2557 246.2496 60.1343),系统的仿真结果如图5.7所示，从仿真结果可知，系统的超调量为4.6%，调节时间为3.23s，稳态误差为0，控制效果比较满意。
图5.7 Q优化后的球杆系统的阶跃响应
5.5 频率响应控制器与二次最优控制器的比较
通过上述两种控制器的Simulink仿真结果可知，频率响应控制和二次最优控制都能达到比较满意的控制效果。频率响应是控制系统在频域中的一种数学模型，是研究自动控制系统的另一种工程方法，频率特性可以由实验确定，这对难以实现动态建模的系统来说，很有用处，虽然频率响应和时域响应之间寻在联系，但难以把握。在实际设计控制器时，常采用近似设计准则来调节系统的频率响应。本课题频率响应控制器中能得到较短的调节时间（t_s<1s）,但是具有一定的稳态误差。线性二次最优控制为统一处理按古典方法研究过的控制问题提供了框架。同时，它大大地扩充了控制设计所能奏效的系统的范围。最优控制是在给定“限制条件”和“性能指标”下，寻找使系统性能在一定意义下为最优的控制规律。本课题中采用最优二次控制，得到了满意的控制效果，且系统的稳态误差为0。
6 球杆系统的实时控制尝试
6.1 球杆系统的硬件介绍
球杆系统主要由以下几部分组成，如图6.1所示，包括计算机，IPM100智能伺服驱动器、球杆机械部分、增量式编码器和线性传感器几大部分，增量式编码器安装于球杆机械部分上的直流伺服电机上，组成一个闭环系统。
图6.1球杆系统图
球杆系统机械部分包括底座、小球、横杆、减速皮带轮、支撑部分、马达等。小球可以在横杆上自由的滚动，横杆的一端通过转轴固定，另一端可以上下转动，当小球在横杆上滚动时，小球的作用就像直线位移电阻器的接触电刷，当电压作用在横杆两端时，通过测量不锈钢横杆上两端的输出电压，便可求得小球在轨道上的位置。当横杆处于水平位置且小球的速度为零时，小球会稳定下来，但当小球或横杆受到扰动时，小球就会再失去平衡，因此需要通过控制横杆的倾角变化让小球在任一位置稳定下来。球杆控制系统将采集到的电机转角和小球位置信号构成一个闭环反馈信号，通过上位机中设计的控制器调节横杆的倾角变化，使小球的稳定，达到控制的目的。球杆系统的电机转角和小球位置的反馈信号通过增量式编码器、线性电阻传感器进行采集。直流伺服电机带有增量式编码器，可以检测电机的实际转角；在横杆上的凹槽内，有一线性电阻传感器用于检测小球的实际位置。