基于LQR球杆系统的控制方法研究与设计仿真(3)
开环不稳定。称球杆系统是不稳定系统，是因为即便导轨的俯仰角是固定的，小球的位置仍是未知的。小球可以停留在水平导轨的任何位置并保持平衡，但是当导轨受到一个微小的扰动后，小球就无法回到原来的位置。对于一个固定的导轨俯仰角，小球会以一个固定的加速度运动直到停在导轨的低端。
典型的二阶系统。对包括电机在内的球杆系统进行建模分析，可以发现该系统是一个典型的二阶系统（电机已用运动控制卡控制），如果忽略摩擦力，它也是一个无阻尼系统。
因为机械结构的特点，存在一些实验的难处，不稳定的系统容易对实验人员产生危险或不可预料的伤害，球杆系统相对而言，机械比较简单，结构比较经凑，安全性也比较高，是一个可以避免这些危险和伤害的实验设备。
2.2 球杆系统的数学模型
控制系统的数学模型是描述系统的输入、输出变量以及内部各变量之间关系的数学表达式，建立描述控制系统的数学模型，是控制理论分析和设计的基础。对数学模型的要求是，既要能准确地反映系统的动态本质，又便于对系统进行分析和设计。在遵循上述原则的基础上，本课题将球杆系统的模型分解成3部分：球杆机械部分模型、角度模型和电机模型。
2.2.1 机械部分的数学模型
球杆系统是一个十分复杂的运动过程，如果用牛顿力学定律对该过程进行分析，要涉及到多个坐标之间的转换，实现起来比较麻烦。而拉格朗日动力学方程式从能量角度来对系统建立平衡方程，它把复杂的坐标转换变成简单的能量转化。下面是用拉格朗日方程来求球杆系统动力学方程的过程。
图2.1球杆本体模型
图2.1中， L为导轨长度，R1为小齿轮半径，R2为大齿轮半径，r为小球位置，α为导轨偏离水平位置的角度，Ө为导轨偏离水平位置后大齿轮相对水平方向转过的角度，β为导轨偏离水平位置后小齿轮相对水平方向转过的角度，小球半径为R,小球转动惯量J。
这里，定义（r，α）为广义坐标，r表示小球在球杆上的位移，α表示球杆的水平倾角。
首先，分析系统的动能。设质量为m的刚体球在在直角坐标系下的位置为（x，y），与广义坐标系之间有如下关系： x=rcosα ,y=rsinα
所以其速度关系为：
x ̇=r ̇cosα-rα ̇sinα, y ̇=r ̇sinα+rα ̇cosα (2.1)
这样，求出小球沿广义坐标r方向运动的动能如下：
T_1=1/2 m(x ̇^2+y ̇^2)=1/2 m(r ̇^2+r^2 α ̇^2) (2.2)
同时小球在沿球杆导轨运动时，还有沿自身径向的转动，其转过角度与小球的位置有如下关系：
令σ=r/R, σ为小球绕自身旋转的角度，R为小球的半径，r为小球子球杆上的位移。这样可以到其角速度为σ ̇=r ̇/R ,因此，小球绕径向转动的动能为：
T_2=1/2 Jσ ̇^2=1/2 J r ̇^2/R^2 , (2.3)
其中J为小球的转动惯量，且J=2/5 mR^2
而球杆饶其固定端转动时的动能如下：
T_3=1/2 J_l σ ̇^2 , (2.4)