基于LQR球杆系统的控制方法研究与设计仿真(7)
频率特性具有明确的物理意义，且它可以用实验的方法来确定。据此，求得待测线性环节或系统的传递函数。这对难以用解析法来推演微分方程式的环节或系统来说，具有特别重要的使用意义。
由于频率响应法主要是通过系统的开环频率特性图形对其闭环系统的性能进行分析，因而具有直观和计算量少的优点。
频率响应法不仅适用于线性定常系统的分析研究，还可推广应用于传递不是有理数的纯滞后系统和某些非线性系统的分析。
当知道系统在某频段范围内存在着严重的噪声时，应用频率响应法就可以设计出能有效地抑制这些噪声的系统。
由于上述的特点，因而该法不仅至今仍然作为经典控制理论中的一个主要内容，而且和它有关的概念和分析方法，还拓展应用于多变量控制系统。
为了设计球杆系统频率响应控制器，首先，绘制开环传递函数（3.1）所示的W(s)的Bode图（程序见附录一），如下图所示
图3.3 球杆开环系统的BODE图
从上图可以看出，系统的相位裕量为0，从相位裕量的定义可以得到，开环系统需要一定的相位裕量，才能使闭环系统稳定，因此球杆系统的开环系统是不稳定的，需要添加系统的相位裕量，因此给系统添加一个超前校正器如下
G_O (s)=K (1+Ts)/(1+aTs)
校正器将给系统在1⁄aT至1⁄T的转角频率范围内增加相位裕量，因控制系统需要的超调量少于5%，对应于ζ=0.7，ζ*100即满足系统超调的最小相位裕量，
γ(ω_c )=tan^(-1)〖2ζ/√(√(1+4ζ^4 )-2ζ^2 )〗
所以系统最终需要的相位裕量为大于70度。
T和a的计算步骤为：
确定需要的相位裕量（如前所述，不小于70度）。
确定增加的相位中的对应于最大相位出的频率ω_m，如理想的频率带宽为1.9rad/s，选择校正系统的ω_m为1.0rad/s。
计算常数a：
a=(1-sinφ)/(1+sinφ )=(1-sin70°)/(1+sin〖70°〗 )=0.0311
其中φ为期望的相位裕量。
计算T和aT:
T=1/(ω_m √a)=1/(1√0.0311)=5.67
aT=√a/ω_m =√0.0311/1=0.176
其中ω_m也为校正后系统的开环剪切频率。
最后得到超前校正器为：
G_o (s)=(5.67s+1)/(0.176s+1)
取增益K=1，在MATLAB中绘制校正后系统的Bode图，如图3.4所示，可以看出系统的相位裕量为70度。
图3.4 添加超前校正器后的系统Bode图
给系统添加0.25的阶跃信号，系统响应如图3.5所示，从图中可以看出，虽然系统已经稳定并且超调量也不是很大，但是稳定时间过长，为系统做以下改进：增大系统的增益，系统的响应加快。
图3.5 添加超前校正器后的系统闭环响应(K=1)
设K=4，系统响应如下图3.6所示，可以看出，系统的响应加快，但是超调量也增加了很多，加大控制器的增益会增加系统的超调量。
图3.6 修改控制参数后的闭环阶跃响应（K=4）
设置不同的参数，并观察结果变化，最终设置相位裕量为80度，ω_m为1.9rad/s，增益K=2，可以得到如下优化后的Bode图。
图3.7修改控制参数后的闭环Bode图
在MATLAB/Simulink中搭建基于频率响应控制的球杆系统仿真模型，在零初始状态下进行仿真，阶跃信号的值为0.25，得到仿真结果如图3.9所示，由图3.9的控制结果可知闭环系统的超调量为3%，调节时间为0.25s，满足性能指标要求。
图3.8频率响应仿真图