基于LQR球杆系统的控制方法研究与设计仿真(11)
μ=-Ky(t)
性能指标则转化为
J=1/2 ∫_0^∞▒(y^T Qy+u^T Ru)dt
也被称为次优控制
对于离散系统线性二次型最优控制问题，MATLAB提供了完全相似的函数dlqr和dlqry，常见的调用格式为
[K,P,E]=dlqr(A,B,Q,R,N)
[K,P,E]=dlqry(A,B,C,D,Q,R,N)
输入、输出中各参数的含义同前。
5 球杆系统的二次最优控制设计
5.1 球杆系统的状态空间模型
5.1.1 线性化系统模型
为研究问题方便，对模型做出如下合理假设：忽略小球和滑轨间的摩擦（μ=0）；在小扰动作用下，α和θ近似为0^°；忽略电动机上的总负载转矩。
在上述合理化假设的前提下，可以对式（2.21）进行线性化处理：
{█(r ̈=mg/((J/R^2 +m) ) α @R_2 θ=R_1 β @Lα=dθ @T_m β ̈+β ̇=K_m u_a ) (5.1)┤
5.1.2 状态空间模型
为建立系统的状态空间模型，选取X=[r r ̇ θ θ ̇ ]^T作为系统的状态变量，则由式（5.1）可推得系统的状态空间表达式为
[█(r ̇@r ̈@θ ̇@θ ̈ )]=[█(0 1 0 0 @0 0 □(mgd/(J/R^2 +m)L) 0 @0 0 0 1 @0 0 0 □((-1)/T_m ) )][█(r@r ̇@θ@θ ̇ )]+[█(0@0@0@□((K_m R_1)/(T_m R_2 )))]u,
y=[█(1 0 0 0@0 1 0 0@0 0 1 0@0 0 0 1)][█(r@r ̇@θ@θ ̇ )]+[█(0@0@0@0)]u. （5.2)
5.2 球杆系统的能控性和能观性分析
球杆系统各项参数如下：重力加速度g=9.8 m⁄s^2 ,小球质量m=0.11kg,小球半径R=0.015m,导轨长度L=0.4m,小齿轮半径R_1=0.16m,大齿轮半径R_2=0.755m,电机时间常数T_m=0.03s,电机放大倍数K_m=0.147rad/s,得出系统的状态方程为
[█(r ̇@r ̈@θ ̇@θ ̈ )]=[█(0 1 0 0 @0 0 0.6958 0 @0 0 0 1 @0 0 0 -33.3 )][█(r@r ̇@θ@θ ̇ )]+[█(0@0@0@1.038)]u,