等差数列前项和与二次函数性质的联系
等差数列前项和与二次函数性质的联系
江西省吉水二中 331600) 王寿斌
等差数列有5个量：首项n ，公差d，项数 ，
第 项 ，前”项和S ，已知其中三个量，就可求
另外两个量，反映这5个量之间的关系，有通项公
式‰ 一n +(， 一1) ，前， 项和定义公式S 一
， 还有前，z项和定义导出公式s = m
+丛 _ ． 下面我们就来利用等差数列的前
一 项和定义导出公式来探讨等差数列前 项和与二
数1 次函数的联系问题．
学I
鍪l 理论探讨
景I 1．1 数列{n }为等差数列，其前 项和s
- 是关于，z的一个二次函数吗?
答：不一定．
．
_ 。)
I吾 由期 于s”=={l眦， l+十 —旦 一 ( d≠ o)
l 卜
1I半月 (1)当d=0，S，．=， ；若n ≠0，则S 是关
于， 的正比例函数，若 一o，则s，．一。是一个常
数函数．
(2)当 ≠o，s 一 + 一萼 z
+(n 一 )， 是关于， 的二次函数且常数项为0．
1．2 ’数列{‰}的前 项和S 是一个关于，
的二次函数，此数列为等差数列吗?
答：不一定．
设数列{n }的前 项和为S ，且S 一删：+
bn+c(“≠0，“，6，c，为常数)，当72一l时，n1一
Sl一“+b+ ，当 ≥2时，n，。一S 一S l=n 。
+ bn+ c一“( 一1) 一6(，2一1)一c一2an— n+
b，此式不一定满足， — l时的情况．
r“+ b+ c(，2— 1)
删 一
+ ≥ 2)
从以上分析得知：当c=0时，‰ 一2an一“+
b( ∈ N+)．
故数列{a }为等差数列，
当c≠ 。时 一 2a
彻
q-
一
b q -
2
≥ 2时，“ 一2(An—a+b是关于，2的一个一
次函数，故数列{n }从第二项开始为等差数列．也
就是说：如果数列{a }的前 项和是一个关于n的
二次函数即S ‘一(An。+bn+c(n≠0，Ⅱ，b，c为常
数)，当c一0，数列{n }的第一项开始为等差数
列；当c≠ 0，数列{n }从第二项开始为等差数列．
2 实例分析
例1 等差数列{n }的前 项和为S ，满足
S 。一S。。，则下列结论正确的是( )
(A)S 。是S 中的最大值 ，
(B)S 。是S 中的最小值
(C)S8o一0 (D)S4o一0
解：数列{ }为等差数列且S 。一S。。，所以公。
差d≠0，S 是关于 的二次函数且常数项为0，其
图像过原点，抛物线开口方向不能确定，故排除
(A)，(B)，设对称轴为 ： 一40． ．
又So一0，得S8。一0，故选(C)，如图1．
}
／ ＼ 。
／ u i ＼
I n= 40
fn一40
＼ I f
I J
0 ＼ I 80
＼+／
图1
解2：{n }为等差数列，且S 。一S。。，设d≠0，
故可设S 一删 +bn(n≠0，n，b为常数)．
S30— 30。“+ 30b，
S50— 50 “+ 50b，
30 n+ 30b； 50 “+ 50b．
(5o 一3o )Ⅱ+ (50— 30)b一0，
80a+ b= 0，
所以S8。： 8O Ⅱ+80b一8O(80a+6)一0．
故选(C)．
例2 m，， 为不相等的正整数，等差数列{n )
的前志项和S ．
若S 一 ，S 一旦，则S 一( )．
It |rL
(A)可能等于4 (B)必大于4
(C)必小于4 (D)不能判断与4的大小
解：{ )为等差数列， ， ∈N+，且m≠ ，2，
S 一 ，S，．一旦