三维的拓扑绝缘体具有金属导电的表面态。在实践中，这些无能隙表面态由于时间反演对称不允许从非磁性杂质反向散射，所以抵抗无序的能力十分强。这个性质使得拓扑绝缘体在自旋电子学和器件应用等方面具有十分巨大的潜质。

到目前为止，除了Bi2Se3之外，大量的三维拓扑绝缘体材料被理论预言。很多方法也发展出来辅助确定拓扑性质。三维拓扑绝缘体非同寻常的性质还有很多。比如，在拓扑绝缘体的介质中，电磁学的麦克斯韦方程需要加上一个拓扑项，从而导致了拓扑磁电效应。一个具体的例子就是磁单极子现象；三维拓扑绝缘体表面态之外不远处的电荷会感应出一个电磁场，这个电磁场等效于一个镜像电荷和一个磁单极子作用的叠加。

1.4 拓扑不变量

通常拓扑绝缘体是在价带和导带之间存在能隙的体积绝缘体，但是有无能隙边缘态（二维）或表面态（三维）的存在，这是由自旋轨道耦合导致的，这不受非磁性杂质和几何扰动的干扰。与整数量子霍尔效应的精神相似，拓扑绝缘体的新奇在于，它的特征可以由一个拓扑不变量表示，而且不是自发对称性破缺的结果。对于二维的拓扑绝缘体我们可以用陈数这个拓扑不变量来确定。陈数可以对贝利曲率的积分来计算。而对于三维的拓扑绝缘体，我们可以用Z2拓扑不变量来表征，我们用v表示，可以取0或1.在三维情况下需要四个Z2不变量（v0;v1v2v3）[12]。。利用Z2拓扑不变量可以分辨16个可能的拓扑相并且把拓扑绝缘体分成两类：弱拓扑绝缘体（WTI）和强拓扑绝缘体（STI）。在三维情况下，如果有一个表面态的奇数那么我们就有v0=1，系统就处在STI相。如果有一个表面态的偶数那么v0=0，我们就有一个弱绝缘体或者WTI。

1.5 总结

现在搜索拓扑绝缘体材料往往利用第一性原理计算方法来预言。但是第一性原理方法的计算量有点大，而且很难得到解析解。对于研究拓扑性质不是很方便。这里我们利用紧束缚方法来研究拓扑绝缘体。紧束缚方法可以得到色散关系的解析解。也可以帮助我们研究拓扑相变的本质[13]。因此紧束缚方法是一个有效的方法。

我们利用紧束缚方法研究二维Lieb格子和边心立方晶格的能带结构，并进一步研究其拓扑性质。我们讨论了自旋轨道耦合，Rashba，交错势等对这些晶格的拓扑性质的影响。我们的理论计算结果能帮助我们理解拓扑相变的本质和指导材料的搜索[14]。