引人入胜的高中数学多边形中点问题(3)
B1 B2n−2
= sin ∠OB1Q = sin(⋅ 90°) .
nA1 A2
即，正 n 边形 B1 B2
⎛n−2⎞
⋅ ⋅ ⋅ Bn 与正 n 边形 A1 A2 ⋅ ⋅ ⋅ An 的相似比为 sin ⎜⋅ 90° ⎟ .
⎝n⎠
m
由此类推，第 m 次得到的正 n 边形与原正 n 边形的相似比为 sin
⎛n−2⎞
⋅ 90° ⎟ .⎜
⎝n⎠
n
边形的面积之比为
猜想：任意
n
边形（
n
=3,4,5, … ） 其 第，
m
个中点
n
边形与原
⎛n−2⎞
sin 2 m ⎜⋅ 90° ⎟ （ m =1,2,3…£©.
⎝n⎠
分析与疑问：由结论 1¡¢½áÂÛ 2 可知，当 n =3 ，n =4 时猜想都成立. 假设 n
= k (k ≥ 3 且 k 为整数）
时猜想也成立；那么，如何由“当 n
⎛k −2⎞
= k 时的面积之比 sin 2 m ⎜⋅ 90° ⎟ ”证得“当 n = k + 1 时，
⎝k⎠
有无其他方法证得“猜想”成立？这“猜想”到底成不成立？
面积之比为 sin
2m
⎡ (k + 1) − 2⎤
⋅ 90°⎥ ”？
⎢ k +1⎣⎦
还是对于一般多边形另有其它结论？在此恳请各位同仁发表自己独到的见解！
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