引人入胜的高中数学多边形中点问题(2)
4
= S − ( S ∆DD1C1 + S ∆A1BB1 + S ∆AA1D1 + S ∆B1CC1 ) =
=
111
S1 , S 3 = S 2 ,⋅ ⋅ ⋅, S m = S m −1 .
222
1
S.
2
同理， S 2
∴ Sm
=
11
S ，即四边形 Am BmCm Dm 的面积是四边形 ABCD 的面积的 m
22m
A3 B3BCCDDA1
= 3 3= 3 3= 3 3= ,
A2 C 2 B2 D2 A2 C 2 B2 D2 2
.
(2)Ò×Ö¤£¬
而
A2 C 2 = A1 D1 = B1C1 , B2 D2 = A1 B1 = D1C1 ,
∴
A3 B3 B3C3 C3 D3 D3 A3 1
====.
B1C1 D1C1 A1D1A1B1 2
A1 B1C1 D1 为平行四边形， A2 ,C 2 分别为 A1 B1 , C1 D1 的中点
∵四边形
50
∴
A2 C 2 // B1C1 ；而 A3 B3 // A2 C 2 ，
∴
A3 B3 // B1C1 ；
∴ ∠B1 B2 A2
= ∠B2 A3 B3 .
同理， ∠B2 A2 B1
∴ ∠A1 B1C1
= ∠D3 A3 A2 ；
= ∠B3 A3 D3 ；
= ∠A3 B3C3 , ∠C1D1 A1 = ∠B3C3 D3 , ∠D1 A1C1 = ∠C3 D3 A3 ；
1
.
2
1
；四边形
2
同理， ∠B1C1 D1
∴四边形
A3 B3 C 3 D3 ∽四边形 D1A1B1C1 ，相似比为
同理，四边形
A2 k +1 B2 k +1C 2 k +1 D2 k +1 与四边形 A2 k −1 B2 k −1C 2 k −1 D2 k −1 相似，相似比为
1
（ k 为正整数）.
2
A2 k + 2 B2 k + 2 C 2 k + 2 D2 k + 2 与四边形 A2k B2kC2k D2k 相似，相似比为
即，奇数次得到的各中点四边形彼此相似，偶数次得到的各中点四边形也彼此相似.
结论 3£º n 边形的第 m 个中点 n 边形与原正 n 边形的相似比为 sin正
m
⎞⎛n−2
⋅ 90° ⎟ ( m = 1,2,3 …;⎜
⎝n⎠
A2
B2
B1
A1
Bn
An
B3
B5
n = 3,4,5,⋅ ⋅ ⋅ ).
证明：(1)如图 3£¬Õý n 边形
点得到 n 边形 B1 B2
A1 A2 ⋅ ⋅ ⋅ An ，顺次连结它的各边中
A3
⋅ ⋅ ⋅ Bn .
易证 ∆A1 B1 Bn ≌ ∆ A2 B 2 B1 ≌…≌ ∆An Bn Bn −1 .
∴ B1 B2
A4
B4
A5
= B2 B3 = ⋅⋅⋅ = Bn B1 ， ∠A1 B1 Bn = ∠A2 B2 B1 = ⋅⋅⋅ = ∠An Bn Bn −1 ，
∠A1 Bn B1 = ∠A2 B1 B2 = ⋅⋅⋅ = ∠An Bn −1 Bn .
∴ ∠A1 B1 Bn
+ ∠A2 B1 B2 = ∠A2 B2 B1 + ∠A3 B2 B3 = ⋅⋅⋅ = ∠An Bn Bn −1 + ∠A1 Bn B1.
= ∠B1 B2 B3 = ⋅⋅⋅ = ∠Bn −1 Bn B1 =
∴ ∠Bn B1 B2
( n − 2 ) ⋅180° .
n
∴ n 边形 B1 B2
⋅ ⋅ ⋅ Bn 是正 n 边形，且与正 n 边形 A1 A2 ⋅ ⋅ ⋅ An 相似.
A1 A2 ⋅ ⋅ ⋅ An 的中心，则点 O 也是正 n 边形 B1B2 ⋅ ⋅ ⋅ Bn 的中心；连
⊥ A1 A2 , OQ ⊥ B1 B2 , QB1 =
1
B1 B2 .
2
(2)Èçͼ 3£¬Éèµã O 为正 n 边形
结 OB1 ,OB2 , OA2 交 B1 B2 于 Q ，则 OB1
∴ ∆OA2 B1 ∽ ∆OB1Q .
∴
QB1OQ
== sin ∠OB1Q .
A2 B1 OB1
51
∵ QB1
=
111n−2
B1B2 , A2 B1 = A1 A2 , ∠OB1Q = ∠B2 B1Bn =⋅ 90°.
222n
∴
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