引人入胜的高中数学多边形中点问题
相似；正多边形的情况与三角形的类似，而四边形的情况则有所不同.
【关键词】三角形，四边形，正 n 边形，中点，相似，相似比.
定义：任意一个 n 边形，顺次连结各边中点得到的图形称为这个 n 边形的第
1 个中点 n 边形；顺次连结第 1 个中点 n 边形各边中点得到的图形称为第 2 个中
点 n 边形；重复同样的方法 m 次，得到的第 m 个图形称为
第 m 个中点 n 边形
A
A
B1
C2
B2
C1
(m = 1,2,3,⋅ ⋅ ⋅; n = 3,4,5,⋅ ⋅ ⋅) .
− 1 )¸öÖеãËıßÐÎÊÇÁâÐΣ¬¶øµÚ 2k 个中点四
这样，对矩形来说，它的第( 2k
边形是矩形（ k =1,2,3,…£©. 由此不禁想到，任意四边形的各个中点四边形之间是否也存在着类似矩形的
49
这种规律？三角形、四边形、正多边形与其各中点多边形在周长、面积上有何数量关系？本人对以上问题
进行了一些思索，现将探索的结论与大家共同商讨一下.
结论 1£ºÈçͼ 1£¬ÈÎÒâ ∆ABC ，其第 m 个中点三角形 ∆Am BmCm ∽ ∆ABC ，
相似比为
1
2m
，周长比为
1
2m
，面积比为
1
4m
（ m =1,2,3…£©.
证明略.
结论 2£ºÈçͼ 2£¬ÈÎÒâËıßÐÎ ABCD ，顺次连结各边中点得到四边形
A1 B1C1 D1 ；由此类推直到得到第 m 个中点四边形 Am BmCm Dm ，则
C1
C2
B3
B2
A3
D3
A
A2
B1
1
⑴四边形 Am BmCm Dm 的面积是四边形 ABCD 的面积的 m
2
⑵四边形
;
D1
C3
D2
A2 k +1 B2 k +1C 2 k +1 D2 k +1 与四边形 A2 k −1 B2 k −1C 2 k −1 D2 k −1 相
11
似，相似比为 ；四边形 A2 k + 2 B2 k + 2 C 2 k + 2 D2 k + 2 与四边形 A k B2kC2k D k22图2
2
1
相似，相似比为 （ k 为正整数）. 即奇数次得到的各中点四边形彼此相似，偶数次得到的各中点四边形
2
也彼此相似.
证明：(1)设四边形
易证， S ∆DD C
同理,
∴ S1
Am BmCm Dm ( m = 1,2,3, …)的面积 S m ,ËıßÐÎ ABCD 的面积为 S .
11
=
S
∆ AA 1 D 1
11
S ∆ADC , S ∆A1 BB1 = S ∆ABC ;
44
1
+ S ∆ B 1 CC 1 =
S.
4
∴ S ∆DD C
11
+ S ∆A1BB1 =
1
S;
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