摘要：本文主要用构造性的方法来证明了Dirichlet判别法与Abel判别法与数项级数收敛的充要性，并给出了通过收敛的数项级数得出满足其Dirichlet判别法条件的两个数列的方法。然后本文创造性地将数项级数、函数项级数、无穷积分、瑕积分和含参量积分的Dirichlet判别法与Abel判别法全部统一到了Stieltjes积分的形式，给出了Stieltjes积分中的构造性定理，最后得出了Stieltjes积分的Dirichlet判别法同样与Stieltjes积分收敛充要的结论。
关键词Dirichlet判别法Abel判别法充要性Stieltjes积分
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Title Research to Dirichlet Discriminant Method and Abel Discriminant Method
Abstract In this paper, we use the constructive method to prove the completeness of the Dirichlet discriminant method and the Abel discriminant method and the convergence of several series orders, and give two summaries to satisfy the condition of its Dirichlet discriminant by convergence sequence method. Then the Dirichlet discriminant method and the Abel discriminant method with the number of series, the number of functions, the infinite integral, the flaw integral and the parameter integral are unified into the form of Stieltjes integral. Finally, the Dirichlet discriminant method of Stieltjes integral is obtained Stieltjes points converge to the conclusion.
Keywords Dirichlet discriminant method Abel discriminant method Stieltjes integral
目 次
1绪论 1
1.1Abel判别法和Dirichlet判别法的研究背景 1
1.2Stieltjes积分目前的国内外研究对比 1
2Dirichlet判别法与Abel判别法与数项级数收敛的充要性 3
2.1Dirichlet判别法与Abel判别法介绍 3
2.2Dirichlet判别法和数项级数收敛的充要性证明 4
2.3Dirichlet判别法到的Abel判别法充分性证明 5
2.42.4Dirichlet判别法和Abel判别法充要性证明 5
2.5Dirichlet判别法与Abel判别法与数项级数收敛的充要性 6
2.6Dirichlet判别法与Abel判别法的无穷积分形式 6
3将无穷级数和黎曼积分推广到统一的Stieltjes积分的形式 7
3.1 Stieltjes积分的定义 7
3.2 Stieltjes积分中的Dirichlet判别法与Abel判别法 7
3.3 Stieltjes积分中的Dirichlet判别法与Abel判别法充要性证明 9
结论 12
致谢 13
参考文献 14
1绪论
在通常的数学分析教材中，对于级数、广义积分收敛性的判别法只介绍到Dirichlet判别法与Abel判别法。一个自然的问题是，为什么不介绍其它判别法了呢？这两个判别法足以判断一般数项级数的收敛问题吗？它们之间有关系吗？它们可以推广吗？我们希望探讨以上问题，进一步推广这些结论并到Stieltjes积分的情形，并将级数、Rieman积分的结果表述成统一的Stieltjes积分的形式。
1.1Abel判别法和Dirichlet判别法的研究背景
Abel判别法和Dirichlet判别法是数学分析中判断一般项级数和广义积分收敛性最为基础的两个方法。然而在大多数数学分析教材中，如华东师范大学编写的《数学分析》[1]中，就只证明了上述两个判别法推出数项级数收敛的定理，但对于这两个判别法关于数项级数收敛的必要性和他们之间的关系却没有描述。 Dirichlet判别法与Abel判别法的探究:http://www.chuibin.com/shuxue/lunwen_205471.html