对(11)式两边同乘波函数 并代入 式中,得 满足的微分方程是

                                           

此方程即为所需建立的薛定谔方程 。

2。2 尝试法引进薛定谔方程

我们知道自由粒子的波函数 是平面波,它具有以下四种表达式或它们的线性组合表达式: , , , 。想要满足这些波函数的方程必须符合:①de Broglie relation导出的 ;②方程是线性方程且符合叠加原理;③系数不含动量、能量等状态参量 。论文网

观察 ,其中 的指数为1, 的指数为2,对比 ,得出:所需建立的方程必包含 和   因此可以设所求的方程为       

                                 

将上述的四种波函数代入(13)式中,可以得到:

其中三角函数形式波函数无法满足方程,而两种复数形式波函数是可以满足方程的。设波函数为                   

                             

则     综合 、 两式得:       

两边同乘 ,得                                   

即自由粒子的三维薛定谔方程。

2。3 类比法引进薛定谔方程

从力学到波动力学,就像光学中用惠更斯理论来代替牛顿理论相类似,因此,我们尝试构成这种象征性的比例式 :

                     

在光波波长 的数量级微小范围内,几何光学将会被波动力学所代替,那么,我们可以猜想:在原子或分子大小的微小范围内,波动力学将代替牛顿力学而决定微观体系的运动 。

在介质中,光的波动方程是   

                                 

其中 。由于力学与光学的相类似,波动力学基本方程类似于波动光学的波动方程:

                              

在势场 中,     综合 、 两式,得     

把 式代入到 式中,得 

即定态薛定谔方程           

                      

3 薛定谔方程基本性质的讨论

3。1 波函数与态叠加原理文献综述

 周世勋在《量子力学教程》中曾说过这样两个观点:第一、波函数是用来描述一个微观体系的量子态;第二、态叠加原理是波函数的线性叠加,那么,我们可以在当前大多数有关量子力学的书籍期刊中发现,量子力学的波函数都是在建立薛定谔方程的过程中引入的。然而,Max Born对于波函数的概率解释是从理论计算结果与实验比较中获得到的 。因此,我们必须要明确的是:波函数的概率解释并非只是附加在薛定谔方程上的一个独立假设,而是能从薛定谔方程中一步步推导出来的。详细的态叠加原理的表述是,“波的相干叠加性”与“波函数完全描述一个微观体系的状态 。”

 例如:对于某一时刻 来说,若设用 描述体系所处的状态,则在此状态下测量力学量 时可以得的结果为 。在 的状态下测量力学量 可以得到的结果为 ,则在 所描述的状态下,测量力学量 可能得到 ,也可能得到 。假设态是含时间的变量函数,则态叠加原理为:设 和 分别是描述粒子所处的两个可能态,则它们的线性叠加  也代表粒子所处的某个状态。

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