从经典力学中的牛顿方程到量子力学中的薛定谔方程，是人类认识自然理解自然过程中的一个巨大飞跃，由于我们都是通过制定各种概念来总结和概括各种科学认识成果的，所以这一过程主要表现在人们用一些新概念来取代或修正旧概念。一般来说，我们认为以薛定谔方程为代表的量子力学是“新量子力学”，而以玻尔理论为代表的量子力学是“旧量子力学”，但二者其实是同出一源的，只是他们所用的概念和模型不同而已。薛定谔方程主要分为含时薛定谔方程与不含时薛定谔方程。其中，含时薛定谔方程相依于时间，专门用来计算一个量子系统的波函数是怎样随着时间演变。而不含时薛定谔方程则又被称为本征能量薛定谔方程，或定态薛定谔方程，他不相依于时间，可以计算一个定态量子系统，并对应于某本征能量的本征波函数。薛定谔方程是个非相对论性的方程，因此，是不能够用于相对论性理论的。

2 薛定谔方程的建立

2。1 从粒子波函数引进薛定谔方程来自优I尔Q论T文D网WWw.YoueRw.com 加QQ7520~18766

此时要建立的方程是描写波函数随时间变化的，所以该方程是含有对时间微分的波函数方程，并同时满足以下两个条件：①方程是线性的；②方程的系数不应含状态的参量。

    首先，平面波描述了自由粒子的波函数

这就是所需建立的方程的解。

对 式的时间求偏微商，得   

对 式的坐标求二次偏微商， 

将 、 、 式相加，得   

    可知自由粒子的动量与能量关系是  ，同时比较 式 、 式,可以得到自由粒子波函数满足的微分方程为：

对 、 两式变形得   

其中 为拉普拉斯算符：     

通过 、 两式，可知粒子能量E和动量算符 与下列算符相类似 

                       ；                   　       

此时可以设粒子在势场中的势能为 ，则此时粒子的动量与能量的关系为