MATLAB时域积分方程方法计算金属目标电磁散射特性(2)
1．2 本文主要内容及安排
本文主要研究了显示时间步进算法求解时域积分方程的详细方法，包括了在编写MATLAB算法程序时需要注意以及优化算法的方法。
第一章为引言，主要介绍了本文的研究背景及意义，介绍了计算电磁学的主要分类，着重讲解了本文使用的时域积分方程方法的发展状况及优缺点。
第二章由浅入深介绍了时域积分方程显示时间步进算法的解法。一步一步应用数学和物理原理，结合各种方法从建立时域积分方程到解时域积分方程。并提出了全面的两个积分的解法，为编写MATLAB算法程序提供了理论支持。
第三章为MATLAB算法程序的实现，介绍了在MATLAB算法程序编写中需要注意的地方。并对一些可以做出优化的地方进行优化，在保证精度允许的范围内使得算法用于计算的时间大大的减少。
2 时域积分方程显式时间步进算法解
2．1 基础原理
对于任意一个导体 来讲，我们可以定义其表面为 ，表面电流为 。需要注意的是，有一些理论中的物体（例如导体平面等），这类物体的厚度无限小，我们把它们视为开放型（open）导体，它们的表面电流 表示的是 面上下两面的叠加效果。
图 2-1 三文导体目标
理想导体表面的电场边界条件[1]如下：(2-1)
理解上式首先需要知道散射场的定义：物体在激励信号照射下会产生感应电荷，这些电荷所辐射的场即为散射场。上式中 表示入射场在表面处的切向分量， 表示散射场在表面处的切向分量。
由电磁场的位函数理论：(2-2)
上式中 为电场的矢量位， 为电场的标量位，它们分别为
上式中 为空间磁导率， 为空间介电常数， 表示空间中电磁波的传播速度， 表示观察点矢量，而 表示源点矢量。对于式(2-3)，我们可以理解为： 时刻，在观察点 的矢量位函数 是理想导体表面各源点 处 时刻的表面电流 与距离 相除的积分。式(2-4)可以同样理解。
根据电荷守恒定律 (2-7)
将式(2-7)带入式(2-4)得到(2-8)
上式即为表面电流密度 与标量位函数的关系。
为了寻找矢量位函数、标量位函数与入射场的关系，我们将式(2-2)带入式(2-1)得到
(2-9)
将式(2-3)以及式(2-4)带入上式，即得到第一种时域积分方程形式。由于上式中标量位的公式中有对时间的积分，在求解时不方便简化公式，同时也不利于MATLAB算法程序的编写，本文不采用这种形式的时域积分方程。
为了消除对时间的积分，我们将式(2-9)两边对时间 求导
定义 ，则式(2-10)变为
式(2-11)即为第二种形式的时域积分方程，本文选用此方程来解。
虽然显示时间步进算法（利用第二种TDIE求解）相比隐式时间步进算法（利用第一种TDIE求解）有着比较突出的后期稳定度。但是后期不稳定度仍然是显示时间步进算法的一个大问题。为了使后期不稳定度降低，学者们发现选用不同的时间基函数有着不同的效果
为了利用时间步进求解时域积分方程，我们在空间上将理想导体 的表面 离散为一个个彼此相邻的空间三角面片元。同时我们将时间分散成由时间间隔 分割出的一个个时间点。由此建立了表面电流的公式
(2-13)
式中， 表示时间点（计算时一般为从激励开始的时间点到感兴趣的时间点）， 表示分割的三角面元的棱的条数（从一到 条）， 为空间基函数， 为时间基函数， 表示第 条棱在第 个时间点时的表面电流密度。下面详细的讲解这两个基函数。