基于压缩感知的高分辨OFDM信道估计(2)
目前，CS理论研究主要内容包括信号稀疏表示、测量矩阵的构造和重构算法三个部分。CS理论可以对某一个信号使用的条件是信号具有一定的稀疏性[11]，信号的稀疏性指的是信号在某一个正交基底或者过完备的字典上展开后，得到的展开系数中值较大的元素占比很小，而相当比例的元素为零或者接近为零。大量的自然信号在时域、频域或者其它正交基上的展开上满足一定的稀疏性，因此CS理论有着广泛的应用空间。压缩感知是传统信息论的一个延伸，但相对于传统信息论又具有非常大的优势和实用性，目前正在成为信息处理中一个新的研究热点。
1.2 压缩感知的理论背景
在信号为稀疏信号(或称可压缩信号)时，利用压缩感知技术可以将抽样和压缩同时进行。使用压缩感知对于具有稀疏性的模拟信号进行采样，采样速率会远远低于奈奎斯特采样速率；同时压缩感知可以对离散信号实现去相关压缩，在此方面压缩感知相对于传统的信源变换编码压缩技术(如DCT)具有更高的效率。下面的信号是离散的时间信号，本文将以此为例具体说明压缩感知的基本原理：假设一个有限长一文离散时间信号 是一个待压缩的实值，它是 空间中 的列向量。在 中的任何一个向量都可以由个数为 的一组标准正交基 表示，其中 的列向量表示为 。由这N个标准基底可以构成一个 的基矩阵 。信号 可以表示成式（1.1）：
或者 （1.1）
其中， 是 的加权系数列向量。从（1.1）的方程可以看出，待压缩的信号表示为 和 ， 是在时域、频域或者空域的信号表示，而 是在 域的信号表示。如果只存在K个较大的非零值于列向量 中，其他数值均为零值或者是近似于0的极小数值，同时 ，那么则称信号 相对于 域具有稀疏性或者是可压缩的。由压缩感知的基础理论可以知道，对于K稀疏的信号，可以通过构造测量矩阵进行测量从而从信号 中选取出M个样值，接收端利用这M个样值就能够以很大的概率重建信号，其中， ， 为很小的常数。由于 小于 ，这样相对于传统采样方法就可以实现降低采样率。这M个样值的获得方式由式（1.2）表示：
(1.2)
其中， 为 的向量， 向量的元素为测量过程中取得的M个样值的大小， 为 的测量矩阵。接收端利用 中的M个元素通过算法重建信号 。信道估计过程的实质是由式(1.2)求解出 向量中的N个元素的值。根据相关的线性代数知识可以看出由于（1.2）中的未知数个数多于方程组的个数，所以解出的 将不唯一。因此实现重建信号 的前提条件是确定一定的原则以在 的解空间中找出一个最优解。
重建算法中最著名的有MP算法[12]和它的改进算法OMP[13]。MP算法的基本原理是每一次从过完备原子库(即恢复矩阵 )中选择出与信号匹配度最好的原子来构建稀疏逼近，并求出信号的残差，然后继续选取与信号残差匹配度最好的原子，经过适当次数的迭代，信号可以由一些原子线性表示，但是由于信号在已选定原子集合上的投影不具有正交性，所以每次迭代的结果可能是次最优的，因此为取得收敛可能需要经过较多次迭代。OMP算法则有效的解决了这个问题，该算法依然使用了MP算法中的原子选择准则，只是通过递归地对已选择原子集合进行正交化来保证每一次迭代结果的最优性，从而降低了迭代次数。所以OMP算法非常适合用于稀疏信道估计。