例1  若函数 在闭区间 上为可导函数,证明:在区间 内,方程 至少存在一个根.
证明:构造辅助函数
 ,
     由条件 在闭区间 上可导,那么 在闭区间 上也可导,且在 上
     连续,
     而且
 .
     根据罗尔中值定理,则至少存在一个 ,使得 ,
     即有                 .
     故在区间 内,方程 至少存在一个根.
2.2 拉格朗日中值定理的应用
2.2.1 函数的极限问题
在面对一些较为复杂的函数极限问题的时候,拉格朗日中值定理为我们提供了一种非常简单而且有效的方法,那就是对所求极限的某些部分构造一个辅助函数,然后再使用中值定理,这样就可以求出所需要求解的极限.
例2  求极限 ,其中 为不等于零的常数.
     解:根据拉格朗日中值定理,
         令 ,其中 .
         当 时, ,
         故                       .
2.2.2 函数的单调性问题,以及利用函数的单调性去判断函数的极值、最值
对于函数的单调性问题,我们利用拉格朗日中值定理就能够非常快速的判断出函数的单调性.我们的依据就是以下这样一个定理:
定理4[1]   设 在区间I上可导,则 在I上递增(减)的充要条件是
 .
当然,在这类问题当中,我们可能会遇到函数的个别的点的导数不存在的情况,但是这并不会影响函数整体的单调性.
而关于函数一些特殊点的判断,如极值、最值的判断,这些就是对函数的单调性的一些应用.首先,找出所有使 的驻点,还有就是找出使 连续但是 不存在的点.然后,根据所有驻点和不可导点两侧的 的符号的变化情况,判断函数的单调性情况,并求出这些特殊点所对应的函数值.再与函数的图像相结合,最终确定函数的极值点、最值点这些特殊的点,并且可以求解出对应的极值、最值.
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