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微分中值定理及其应用
摘 要: 微分中值定理是
数学
分析中非常重要的基本定理,是微分学理论的重要组成部分,它是讨论函数与导数之间关系的有效工具.微分中值定理主要就是由Rolle中值定理、Lagrange中值定理和Cauchy中值定理三部分组成,其主要的作用就是理论的分析和证明,运用导数的变化
研究
函数的变化.本文就将对这三个中值定理进行讨论和研究.40019
毕业论文
关键词: Rolle中值定理;Lagrange中值定理;Cauchy中值定理;应用
微分中值定理是指罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理.对于微分中值定理在微积分领域的地位,这个我们是不需要置疑的,并且在很多的方面微分中值定理都有着非常重要的应用.本文将
系统
地对微分中值定理及其应用进行归纳总结,分析微分中值定理的具体内容及其之间存在的关系,重点分析整理微分中值定理解决的各类实际的数学问题并举例说明,使我们更加清楚地了解其所具有的实际意义.
1 微分中值定理及其之间的关系
1.1 微分中值定理的具体内容
下面我将首先要介绍的就是三个微分中值定理的具体内容,主要就是包括它们成立所需要的条件以及得出的结论.
定理1[1] (罗尔(Rolle)中值定理)若函数 满足如下条件:
(i) 在闭区间 上连续;
(ii) 在开区间 内可导;
(iii) ,
则在 内至少存在一点 ,使得
.
定理2[1] (拉格朗日(Lagrange)中值定理)若函数 满足如下条件:
(i) 在闭区间 上连续;
(ii) 在开区间 内可导;
则在 内至少存在一点 ,使得
.
定理3[1] (柯西(Cauchy)中值定理)设函数 和 满足如下条件:
(i)两个函数在 上都连续;
(ii)两个函数在开区间 内都可导;
(iii) 和 不同时为零;
(iv) ,
则存在 ,使得
.
1.2 微分中值定理之间的关系
通过对以上三个微分中值定理具体内容的了解,分析三个微分中值定理成立的条件以及得到的结论,我们不难发现三个微分中值定理之间存在着如下图1所示的关系.[2]
由以上的关系图,我们可以得出这样的结论:罗尔定理是微分中值定理的基础,由它我们可以推广出拉格朗日中值定理,只需要在两个端点的函数值不一样的时候就可以了.而拉格朗日定理则是微分中值定理的关键所在,它与其他两个定理之间都存在着联系,当 时,罗尔定理就是它的一个特例,而当我们将它从一个函数推广到两个函数的时候,它就推广成为了柯西中值定理.
2 微分中值定理的应用
2.1 罗尔中值定理的应用
2.1.1 关于方程根的存在性问题
在我们所学习的方程中,当我们研究方程的根的问题的时候,除了一些简单的、低阶的方程根容易求解之外,当我们遇到一些复杂的方程的时候,如果我们需要讨论这个方程的根是否存在时,我们往往都会不知道如何去解决.而我们现在讨论的罗尔中值定理,在解决一些复杂方程的根的存在性问题方面有着很大的作用,它启示了我们可以将方程与函数联系在一起,从函数导数的角度去研究方程的根的存在性问题.同时,这类问题的解题步骤也很简单,一般解题过程是:了解命题条件 构造辅助函数 验证 满足罗尔中值定理的成立条件 得出命题结论.[3]
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