.
同理,由
 ,
取 , , ,即可推的所需的不等式。
证明完毕。
6  s-凸函数的Hermite-Hadamard不等式和Ostrowski不等式
Kirmaci已经证明了一些凸函数的Hermite-Hadamard不等式 。
定理6.1   是 ( 为区间 的内部)上的可微函数,若 为 上的凸函数,则有: ,
其中 。
定理6.2   是 上的可微函数,若 为 上的凸函数,则
其中 , 。
随后,Pearce和Pečarić将上述定理进行推广,证明了下述定理
定理6.3   是 上的可微函数,若 为 上的凸函数,则 ,
其中 , 。
相对于凸函数,Dragomir和Fitzpatrick证明了以下著名的第二类 -凸函数的Hermite-Hadamard型不等式 。
引理6.4  假设 ,且 ,则:其中 。
由于资料的缺失,再加上引理6.4所得的不等式是之后所有推广的不等式的基础,在此,本文给出引理6.4的证明过程。
证明:先证明不等式(7)的右边部分。取 , ,则由第二类 -凸函数的定义得
 .
上式不等式两边积分
 .
即得右边部分不等式。
再证明不等式(7)的右边部分。令 ,则进行变量替换得
 .           (8)
因为 是第二类 -凸的,则
代入(8)式
 .
即得左边部分不等式。
证明完毕。
下面部分我们将从上述凸函数的Hermite-Hadamard型不等式的条件出发,对其做一些改变,使这些函数形式满足第二类 -凸函数的定义,推广出一系列 -凸函数新的形式优美的Ostrowski不等式,并且由这些 -凸函数的Ostrowski不等式又能够推出上面的 -凸函数的Hermite-Hadamard型不等式。
目前为止,Alomari和Darus已经得到了可微的第二类 -凸函数与Ostrowski不等式相关的一些不等式,他们使用了以下引理进行证明 。
引理6.5   是 上的可微函数,若 ,则对任意的 , ,满足以下不等式
 ,其中 , 。
他们的结论是 :
定理6.6   是 一个可微函数,且 ,若在 上 ,且 ,则对任意的 ,满足不等式
其中 , , , , 。
在这基础上,本文将重点考虑特殊的绝对值函数( , ),当他们满足第二类 -凸函数定义时,所得到的一些新的Ostrowski不等式 。
定理6.7   是 一个可微函数,且 ,若在 上 ,则对任意的 ,满足不等式
其中 , , 。
证明:由于 在 是第二类 -凸的,根据引理6.5可得
其中我们使用了已有的积分公式:
证明完毕。
推论6.8  在定理6.7中,若取 ,则不等式(10)可变为
注:在推论6.8中,若 ,则不等式(11)变为
即为定理6.1中凸函数满足的不等式。
定理6.9   是 一个可微函数,且 ,若 ,则对任意的 ,满足不等式
其中 , , , , 。
证明:由Hölder不等式 及引理6.5可得
因为 是第二类 -凸的,所以
使用已有的积分公式
综合(13)-(17)式,即可的所需证明的不等式(12)。
证明完毕。
注:在定理6.9中,若取 , ,则不等式(12)可变为 ,
即为定理6.2中凸函数满足的不等式。
定理6.10   是 一个可微函数,且 ,若 ,则对任意的 ,满足不等式
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