定理3.3  (a)令 ,对任意的 , , ,不等式
 
成立的充分必要条件为 。
(b)令 ,对任意的 , , ,不等式
 
成立的充分必要条件为 。
证明:(a)必要性:只需取 , ,则显然成立。
充分性:假设 , , ,令 , ,则 ,因此可以得到
 .
(b)必要性:取 ,可知 ,然后利用定理3.1(a)可以得到 ,因此 。
充分性:假设 , , ,令 , ,则 ,从而有
 .
证明完毕。
运用上述定理,我们可以得到两类 -凸函数之间的关系。
定理3.4  (a)令 ,若 且 ,则 。
(b)令 ,若 且 ,则 。
(c)令 ,若 且 ,则 。
证明:(a)假设 且 , , , ,则 ,根据定理3.3(b),可得
 ,
这就表明 。
(b)假设 , , , ,则可得
 ,
这就表明 .
(c) 假设 , , , ,则 ,在根据定理3.3(a),可得
 ,
这就表明 。
4  s-凸函数的Jensen不等式
由凸函数的Jensen不等式(定理2.2.1),本部分对其进行推广,得到 -凸函数的Jensen不等式,并给出证明。
定理4.1  若在区间 上函数 ,则对任意 , , ,且 都有
证明:首先我们证明不等式
我们在 上使用数学归纳法:
(1)当 时,由定义2.2.1,不等式(5)显然成立;
(2)假设当 时,不等式(5)也成立;
(3)当 时,假设任意的 ,满足
若 时,则 ,显然不等式(5)成立;下面考虑 ,这里令 ,…,  ,则有 ,由(2)中假设可得
综上所述,不等式(5)成立。
因此只需取 ,定理中的不等式即成立。
证明完毕。
定理4.2  若在区间 上函数 ,则对任意 , , ,且 都有
 .                      (6)
证明同定理4.1。
这里我们将上述Jensen不等式推广到积分形式。
定理4.3  若在区间 上函数 ,函数 在区间 上可积,函数 连续, , , ,且 则
 .
证明:取 ,由(5)式得
 .
令 ,由函数积分的定义,即得所需结论。
证明完毕。
定理4.4  若在区间 上函数 ,函数 在区间 上可积, , , ,且 则
 .
证明同定理4.3。
5  s-凸函数的梯度不等式
从 -凸函数的两类定义来比较来看,第一类 -凸函数需要满足 ,而第二类 -凸函数只需要满足 ,显然在不等式中处理指数函数是十分复杂的工作。故在第五、第吹冰和第七部分只考虑第二类 -凸函数。
根据凸函数的定义,可以推出凸函数的以下简单的不等式。
定理5.1  若函数 为区间 上的凸函数,则对于 ,有
 .
证明:设 , , ,则 , , ,由凸函数的定义可以得到
 ,
类似可证
 .
不等式依次取 , , 和 , , ,即可推的要证的不等式。
证明完毕。
推论5.2  若 为区间 上的凹函数,则函数 单调递增。
证明:只需在定理5.1中取 ,即可得到结论。
推论5.3  若 为区间 上的凸函数,则对于区间 上任意三点 ,有
  .
上述不等式从几何上看,是凸函数梯度之间的关系,我们将它命名为梯度不等式。
下面将上述凸函数的梯度不等式推广到 -凸函数中。
定理5.4  若函 为区间 上的第二类 -凸函数,当则对于区间 上任意三点 ,有
 .
 
证明:设 , , ,则 , , ,则由 -凸函数的定义可以得到
 .
因为 , ,所以 ,即。而由定理3.1,函数 非负,故上述不等式可变为:
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