高中数学台体中的定比分点公式(2)
1+ λ ⋅
1+ λ
A2 B2
A1 B1 ，
S
=
S1
1+ λ
所以 AB
=
A1 B1 + λ A2 B2
③
1+ λ
上述证法对四棱台、五棱台、……同样成立。因此有
定理：平行底面的截面把台体分成上下两个台体，若这两个台体的高之比为 λ ，原来台体的上、下底面
以及截面的面积分别为 S1 , S 2 , S ，则
s=
s1 + λ s2
1+ λ
结论推广：上述结论对锥体同样成立，此时 S1 =0
应用举例：例 1£ºÇóÖ¤£ºÁ½¸ǫ̈ÌåÈôÉÏ¡¢Ïµ×Ãæ»ý•Ö±ðÏàµÈ£¬¸ßÒ²ÏàµÈ£¬Ôò•Ö±ðÉú³ÉËüÃǵÄÁ½¸ö׶Ìå¸ßÏà
等。
证：设两个台体上、下底面积分别为 S ′ ，S，高为 h ，生成它们的两个锥体的高分别为 h + h1 ， h + h2 ，
设
h1h
= λ1 ， 2 = λ2 ，由上面结论可得
hh
S′ =
所以 λ1
λ1 S
1 + λ1
，
S′ =
λ2 S
1 + λ2
= λ2 ，则 h1 = h2 ，即两锥体高相等。
例 2£º°Ñµ×Ãæ»ýÏàµÈ¡¢¸ßÒ²ÏàµÈµÄÁ½¸ö׶ÌåµÄµ×Ãæ•ÅÔÚͬһƽÃæÉÏ£¬ÇóÖ¤£ºÆ½ÐÐÓÚµ×ÃæµÄƽÃæ½ØËüÃÇËùµÃ
两截面面积相等。
简证：设这两个锥体的底面面积 S£¬ËùµÃÁ½½ØÃæÃæ»ý•Ö±ðΪ S1、S 2 ，则
S1 =
λ S，
1+ λ
S2 =
λS
1+ λ
所以 S1 = S 2
例 3£ºÒ»Ì¨ÌåÉÏ¡¢Ïµ×Ãæ»ýÖ®±ÈΪ 1£º4£¬Ò»Æ½ÐÐÓÚµ×ÃæµÄ½ØÃæ°ÑËü•Ö³ÉÉÏ¡¢ÏÂÁ½²¿•Ö£¬Á½²¿•Ö¸ßÖ®±ÈΪ 1：
2，求上、下两部分体积比。
解：设上底面，截面，下底面的面积分别为 S ′ ， S0 ， S ，则
59
S =4 S ′ ，则 S =0
S′ +
1
S
4
2
=S′
13
1+
2
1164
′（′s ′ + s′ + s ′V上 3 s + s0 + S0 S )h上所以9
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