1 引言 本科毕业设计说明书

由于常曲率流形一定是Einstein流形，因此，欧式空间、球面和双曲空间等都 是Einstein流形。此外，具有Fubini-Study度量[5]的复射影空间C� �  也是Einstein流 形。Calabi-Yau流形是Ricci平坦的K¨ahler流形[6–8]，其第一Chern类为零。

1.2.3 Yau的工作

1978年，著名数学家S.T.Yau使用紧K¨ahler流形的性质证明了关于“在一些复流 形上好的Riemann度量存在性”的Calabi猜想[9, 10]，并因此获得了1982年的Fields奖。 这表明了K¨ahler流形已经成为现代微分几何所研究的一类非常重要的复流形。更重 要的是Calabi-Yau流形与有希望解决统一场论问题的弦理论存在着密切的关系。为 此，近年来，众多学者对K¨ahler流形复结构和代数结构投入了大量的研究，解决了 部分公开问题，但仍留下了不少未解决的问题。

1.3 K¨ahler几何中未解解决决的问题

1) K¨ahler中的一个基本的问题是如何进行Hodge分解。关于这个问题，Torelli、 Andrei Todorov和Siu等人陆续得到了一些结果。在一定得条件下，这个问题可以 转化为Picard-Fuchs方程。1990年左右，Gelfand开始研究具有周期性奇点的多变量 积分，试图推广Euler积分，从而研究Picard-Fuchs方程。但GKZ定理说明，这套 理论还不足以解决该问题。最近，Bong Lian、An Huang和Yau引入了tautological system的概念，推广了GKZ定理，试图去解决这一问题。

2) 在维数大于2时，Riemann-Roch定理并没有对近复流形给出足够的约束，使 其具有可积的复结构。Yau乐观地猜测，维数大于2时，任意的复流形都可以有一个 可积的复结构。关于此猜测，至今未有反例出现。

3) Hodge发现，代数闭链的上同调类一定是(�, �)类型的。在1950年Harvard举办 的国际数学家大会(ICM)，他提出了该问题的反问题，称之为Hodge猜想。1954年， S.S.Chern侧面地回答了这一问题：每一个全纯向量丛的Chern类都是代数的。Hodge 猜想可能是射影代数几何中最重要但仍未被解决的一个问题。

4) 有许多的专家学者在微分方程解的Harnack不等式及微分Harnack不等式等方 面都做出了突出的贡献，这个方向在偏微分方程理论和几何分析的研究中一直都有 着举足轻重的地位。1986年，Li和Yau使用梯度估计法首次得到了Riemann流形上热 方程正解的一个不等式，将梯度估计沿着时空路径进行积分便是经典的Harnack不 等式。随后，Hamiltom如法炮制，得到了Riemann流形、Ricci流[11, 12]、平均曲率流 和热方程矩阵的Harnack不等式。在近20年里，几何分析成为了当前几何研究中的一 个重要方向。Perelman给出的一个关于Poinca´re猜想的证明[13]在该方面最重要的结 果。 

5) 设� 是2�维可定向的微分流形，则� 上的近复结构� 的存在性等价于向量丛 的结构群由GL(2�, R)到GL(�, C)过渡。 这本质上是一个代数问题。什么时候一个近 复结构同伦于一个可积的近复结构？现已知道，� = 1时，每一个2维流形都容许一 个可积且代数的近复结构。� = 2时，ven de Van给了几个有近复结构但没有复结构 的4维流形的例子。� > 2时，情况未知。

6)  S.  T.  Yau提出猜想， 认为可将第一Chern类为正的高维空间上的K¨ahler-Einstein度量的存在性问题转化为代数几何的稳定性问题。2014年5月，陈秀雄、唐纳森 和孙崧给出了“丘成桐猜想”的完整证明，他们的3篇系列论文发表在国际顶级 数学期刊《美国数学会杂志》上。反过来，K¨ahler流形的复结构是不是唯一的， 是不是可以有别的复结构？这个问题的一些结果在曲面分类的一些文章中有所提 及[14–16]。S.T.Yau还提出猜测：截曲率为负的紧致K¨ahler流形存在唯一的复结构，如 果条件换成负双截曲率，将不成立[17–20]。 凯勒流形的复结构与代数结构研究(4):http://www.chuibin.com/shuxue/lunwen_205473.html