我们知道微分算式 M 在 L2 空间上定义了一个最小算子记作 T ，它是一个闭且对称的算 子。并且它的任意自伴延拓有相同的本性谱（[1]）。本文关心的是半直线上的算子的自伴延拓只具有离散谱的情况。

我们称 T0 或者说 M 具有性质 BD 如果 T0 的任何自伴延拓都是下半有界的且都只具有离散 谱。 A. M. Molchanov 在 1952 年给出了算式：

在 q 有下界的时候具有性质 BD 的充要条件： 0, 有本文考察的是半直线上算子 M D2 q 的自伴延拓在什么情况下只具有离散谱，给出一 个 M 具有性质 BD 的充分条件，以及在 q 0 的时候 A. M. Molchanov 定理的新的证明方式。

2 预备知识

2.1 最大算子与最小算子

设 I 是一个区间， ak C w, k 0,1,..., n, 称是 I 上的微分算式。同时，若那么称 M 是一个正则微分算式。

设 M 是区间 I 上的 n 阶的正则微分算式。 M 在 L2 I 上生成的最大算子按如下方式定义事实上，因为 Dn1 f ACI , 于是 Dn f 在区间 I 上几乎处处有意义，因此 Mf 在区间 I 上几乎处处存在，所以这样所得到的 T1 M 就是一个微分算子， DT1 M 又是 M 能作用的最大 的 区 域 ， 因 此 把 T1 M 称 作 最 大 算 子 。 同 时 ， 显 然 T1 M 是 一 个 稠 定 算 子 ， 因 为

C0  I   DT1 M ，且 C0  I 在L I 中稠 。把上述所定义的最大算子 T1 M 限制在 C0 I 上面得到的算子的最小闭延拓称作 M 在L2 I 上生成的最小算子，记为 T M 

2.2 自伴算子的谱族

设 A 为 Hilbert 空间 H 上的稠定线性算子，则 A 的共轭算子按如下方式定义称 A 为 A 的共轭算子。定义合理地前提是 A 是稠定的线性算子。事实上，若存在即 (1 2 ) DA, 而 D( A) 稠密，从而1  2 ，所以定义是合理的。 设 M 是 Hilbert 空间 H 的闭子空间。由正交投影定理（[2]）