一种新的正弦波谱估计方法研究+MATLAB仿真(2)
1.1 功率谱概述
功率谱的全称是功率谱密度函数，它的具体定义为单位频带内的信号的功率。它从能量的角度有效的描述出了信号随频率的变化情况，也就是信号功率在频域的具体分布状况。功率谱主要应用于随机信号的表述与分析，其曲线图一般以频率为横坐标，功率增益为纵坐标。由于功率全是正值，所以功率谱曲线上的纵坐标也全是正值，由微积分的理论，可以知道功率谱曲线与X轴和Y轴所围成图形的面积在数值上是等于信号的总功率的。
功率谱估计技术应用领域十分广泛，且涉及到的学科众多，比如信号与系统、随机信号分析、概率统计、随机过程、矩阵代数等众多基础学科，它在雷达、声呐、通信、地质勘探、天文、生物医学工程等一系列领域中应用十分频繁，并且发挥了极其重要的作用。功率谱估计技术自它被提出伊始，就不断的在改进和发展，并且不断完善，是一个值得深入研究的科学领域。
1.2 功率谱估计发展历程
“谱”的概念最早是著名英国科学家牛顿在18世纪提出来的。后来，在1822年，法国工程师傅里叶提出了对后世影响深远的的傅里叶谐波分析理论，这个理论至今任然是学者们进行信号分析和处理的理论基础。到了19世纪末，Schuster提出用傅里叶系数的幅平方 作为函数x(t)中功率的测量并命名为周期图，这是最早提出的经典谱估计，沿用到至今。1927年，Yule提出来用线性回归方程进行一个时间序列的模拟，借此发现隐含在该时间序列中的周期。随后Walker借助Yule的分析方法研究了衰减正弦时间序列，从而得出了在对最小二乘法分析中常用的Yule—Walker方程，这两人被称为开拓自回归模型的先锋。1930年，著名控制论专家Wiener出版了一本经典著作《Generalized Harmonic Analysis》。在该书中，他首次精确定义了一个随机过程的自相关函数及其功率谱密度，并把功率谱分析建立在随机过程统计特征的基础上，也就是说功率谱密度是随机过程二阶统计量自相关函数的傅里叶变换。这就是著名的Wiener—Khintchine定理。到了1949年，Tukey根据Wiener—Khintchine定理提出了对有限长数据做谱估计的自相关法，后来Tukey和Blackman在其著作中讨论了自相关谱估计法，因此后人把经典谱估计的自相关法称为BT法，周期图法和自相关法也由此成为了经典谱估计的两个最基本方法。由于Wiener、Tukey在功率谱估计领域的突出贡献，人们把Wiener视为现代理论谱分析的先驱，而把Tukey视为现代实验谱分析的先驱。
1948年，Bartlett首次提出了用自回归模型系数来计算功率谱。而自回归模型和线性预测都用到了1911年提出的Toeplitz矩阵结构，Levinson根据该矩阵特点与1947年提出了简化Yule—Walker方程的快速计算方法，这所有的工作都为现代谱估计的发展打下了良好的理论基础。随后，1965年，Cooley和Tukey的快速傅里叶变换算法问世了，这一算法的提出促进了现代谱估计的迅猛发展。
由于经典谱估计的分辨率低和方差性能不好的缺点，现代谱估计法在这种情况下被提了出来。1967年，Burg提出了最大熵谱估计，使得现代谱估计朝着高分辨率的目标更近了一步。
1.3 现代功率谱估计方法种类介绍
现代谱估计的内容极其丰富，其涉及到的学科及应用领域也十分广泛，但是对于现代谱估计的方法的分类至今还未有一个比较权威、明确的定义。因此，本文只能从不同的角度对现代谱估计法大致的分一下类。
从方法上来看，现代谱估计方法可以分为参数模型估计和非参数模型估计，参数模型估计有AR模型、MA模型、ARMA模型、PRONY模型等；而非参数模型估计有最小方差方法、多分量的MUSIC方法等。从信号来源来分，可分为一文谱估计、二文谱估计及多通道谱估计。从信号的特点来分类，可分为平稳信号和非平稳信号（即时变信号），而非平稳信号又可分为短时傅里叶变换和Wigner分布。从使用的统计量分类，可分为二阶统计量和高阶统计量。总体来说，所有的这些现代谱估计方法的重点都放在模型参数的求解上，以此得到计算速度更快、更加稳定、性能更加好的功率谱估计的算法。
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