令,,则在上非负可积,于且,于。

     因而于且于。

     由法图引理:

所以。由于,故,即                    。

(ii)由可知,当时,   

所以,故 证毕。

3。勒贝格控制收敛定理的应用 

3。1利用勒贝格控制收敛定理证明相关结论

    勒贝格控制收敛定理能够用来证实积分的等式、积分的不等式、积分极限、函数可积、判断函数的连续等问题[11,12]。

例1:设,在上的一列非负可测函数,来:自[优E尔L论W文W网www.chuibin.com +QQ752018766-

且,,。证明:中至少已知一个为可积时,有。

证:为可积函数,在上处处收敛于,考虑函数列

则是上的非负的可测函数列,且  ,

因为可积及由式(3)知可积,所以, 

故由式(4)消去后,即得

即    例2:证明:关系式收敛于零与依测度收敛于是等价的。

证:由函数当时严格单调增加知,的充要条件是。 故 

推知:当,依测度收敛于零的充要条件是依测度收敛于零。

      若,必有依测度收敛于零,从而依测度收敛于零。 反之,若依测度收敛于零,必有式依测度收敛于零。

      又,故可得  例3:设是上非负的有界可测的函数,。

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