2准备知识

    对拉格朗日中值定理的证明方法有很多种，除了数学分析教材上的方法之外，还有许多是值得学习和借鉴的。

引理1 拉格朗日中值定理

引理1 设 在闭区间 连续。在开区间 上可导。则至少存在一点 ，使得 。

    我们通过构造函数法、区间套定理给出拉格朗日中值定理的三种不同证明方法。应用构造函数法我们给出两种不同的证明，体现了罗尔定理在拉氏定理中的作用。

证法一:构造一般辅助函数， 满足在 上连续，在 上可导， 即 ，也就是 。所以 满足罗尔定理，则必然有一点 ，使得 , 

即  证法二:构造行列式型辅助函数来*自-优=尔,论:文+网www.chuibin.com

    由于 在 上连续，在 内可导，所以 为 上的连续函数，且在 内可导，且 ，根据罗尔中值定理，最少存在一点 ，使得 

则有故证法三：（利用区间套定理）

记 ，由区间套定理可得存在 ，使   

同理存在 ，使 ，

如果无限的继续下去，便得闭区间列 满足：

故存在 ，且 ，

进而有

引理2 （柯西中值定理）

若函数 和 :满足：

在 上连续，在 上可导， 和 不同时为 ,则至少存在一点 ,使得