A=       X=      b= 

则AX=b（其中A为线性方程组的系数矩阵,X为未知数矩阵,b为常数项矩阵）。

    已知这个线性方程组的系数矩阵A,则可得到这个线性方程组的增广矩阵:

 = 

设矩阵A的秩为r,则该矩阵的秩记为r（A）。

    我们下面的分析都以这个线性方程组为例。

    1）对于判断一个线性方程组有无解,线性方程组有解的充分必要条件为:该线性方程组的系数矩阵与增广矩阵具有相同的秩,即r（A）=r（ ）。

    2）当判断线性方程组有解的情况下,再判断线性方程组解的个数:

当r<n时,线性方程组有无穷解。

当r=n时,线性方程组只有唯一解。

    矩阵的秩在线性方程组求解的实际应用中,根据线性方程组生成的一般的矩阵形式AX=b,

    对解的情况进行判断,总结如下:来*自-优=尔,论:文+网www.chuibin.com

    第一步,系数矩阵和增广矩阵的秩是否相等,如果r（A）≠r（ ）,则可以判定这个线性方程组无解。

    第二步,如果r（A）=r（ ）,则需要进一步判断解的个数:

当r（A）=n时,这个线性方程组只有唯一解；

当r（A）<n时,这个线性方程组有无穷解。

    注意:当我们得到这个线性方程组只有唯一解时,对解的得出,需要用到高等代数中的其他知识。

    例1:求解下列线性方程组

解题思路:先得到线性方程组的系数矩阵和增广矩阵,再根据矩阵的秩对解的情况进行判断。