摘 要:本文根据可逆矩阵的定义与性质,总结了可逆矩阵逆矩阵的几种常用求法,给出了2 2分块矩阵,类三角矩阵, 型矩阵,循环矩阵和范德蒙矩阵等五类特殊矩阵的逆矩阵。

毕业论文关键词:逆矩阵,分块矩阵,类三角矩阵, 型矩阵,循环矩阵,范德蒙矩阵72556

Abstract:In this paper, according to the definition and properties of invertible matrix, the matrices of several commonly used methods about the inverse of invertible matrix were summed up , the five kinds of special matrices’ inverse matrix that the 2 2 block matrix, triangular matrix, zero-one matrix, the cyclic matrix and Vandermonde matrix were gived。

Keywords: inverse matrix, block matrix, triangular matrix, zero-one matrix,circulant matrix, vandermonde matrix 

目   录

1  可逆矩阵的定义和性质4

1。1  可逆矩阵的定义和判定4

1。2  可逆矩阵的性质4

2  逆矩阵的一些常见求法5

2。1 利用定义求逆矩阵 5

2。2 由伴随矩阵求逆矩阵 5

2。3 由初等变换求逆矩阵 6

2。4由Hamilton-Cayley定理求逆矩阵 7

2。5 运用解方程组法求逆矩阵 7

2。6 分解矩阵求逆矩阵 8

3 几类特殊矩阵的逆矩阵 8

3。1   分块矩阵的逆矩阵 8

3。2 类三角矩阵的逆矩阵 9

3。3  型矩阵的逆矩阵 11

3。4 一类特殊循环矩阵的逆矩阵13

3。5 范德蒙矩阵的逆矩阵14

结论17

参考文献18

矩阵是高等代数的一个最基本的概念,而在矩阵理论中较为基础的就是求矩阵的逆矩阵。本文在逆矩阵的一些常见求法基础上,归纳了几类特殊矩阵的逆矩阵,并对此进行研究

1  可逆矩阵的定义和性质

1。1  可逆矩阵的定义和判定  

定义1  设 是数域 上的 级方阵,如果存在数域 上的 级方阵 ,使得 ,这里 是 级单位矩阵,则称 是可逆矩阵,称 为 的逆矩阵并记为 ,即 。

  注1  可逆矩阵 的逆矩阵是唯一的,且 与 为同阶方阵,即 。

定理1  设矩阵 为可逆矩阵,则以下几个命题是等价的,

1) 矩阵 的行列式 ; 

2) 矩阵 的伴随矩阵 可逆; 

3) 矩阵 的伴随矩阵 的行列式 ; 

4) 矩阵 的秩为 ;

5) 矩阵 与单位矩阵 等价(对矩阵 施行初等变换可以使矩阵 转化为单位矩阵 );

6) 以矩阵 为系数矩阵的齐次线性方程组 的解唯一;文献综述

7) 矩阵 可表示为一些初等矩阵的乘积;

8) 矩阵 的特征值均不为0。    

1.2  可逆矩阵的性质

设 是数域 上的 级方阵,若 是可逆的,则

(1) 也可逆且 ; 

(2) 也可逆且 ;

(3)数 ,则 也可逆且 ; 

(4) ;

(5)若 级矩阵 也可逆,则 也可逆且 ,则

 , ,

皆可逆,且

 ;

 ;

(6)若 可逆,又因为 ,则

 , ,

皆可逆,且

  ,

  。

2  逆矩阵的一些常见求法

2.1  利用定义求逆矩阵

利用定义对于 级方阵 ,存在 级方阵 ,使得 求逆矩阵,这种方法通常出现在关于 的关系式中,可通过恒等变形,变为两矩阵的乘积等于单位矩阵的等式。此时,根据定义就可求出逆矩阵。

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