傅里叶系数计算公式[1]  设函数 是以 为周期的函数且在 上可积和绝对可积.论文网

  计算 的傅里叶系数的Euler-Fourier公式为

                                                       

                 .                                             

  如果三角级数 中的系数满足公式 和 ,则称该三角级数是函数 在 上的傅里叶级数.    

2  特殊性状的函数对应傅里叶系数的性质

2.1  函数与系数具有相同的线性组合性质

若 的傅里叶系数分别为 ,则函数

                 

的傅里叶系数为

                   

                   

证明  根据傅里叶系数的计算公式 和 ,可得

同理可得

    

2.2  奇、偶函数傅里叶系数的性质[1] 

    当函数 为奇函数或偶函数时, 的傅里叶系数有简单的形式:

 当 为偶函数时,系数 ,且 变为

            

 当 为奇函数时,系数 ,且 变为

            

2.3  函数与其各阶导函数傅里叶系数的关系

  命题1[1] 设以 为周期的连续函数 在 上按段光滑(即在 上除了至多有有限个第一类间断点的 的导函数在 上除了至多有限个点外都存在且连续,在这有限点上导函数 的左、右极限存在), 在 上可积且绝对可积,则 的傅里叶系数 与 的傅里叶系数 有关系文献综述

证明  因为 是 为周期的连续函数,所以 ,从而有

                      

再由分部积分公式可得

                       

即                  

                       

同理可以证得

                        

命题1的推广[5]  设以 为周期的连续函数 在 上按段光滑,有直到 阶 连续导函数,且 阶导函数 在 上可积且绝对可积,则 的傅里叶系数 与 的傅里叶系数 有关系:

 当 为奇数时

                    ,        

 当 为偶数时

                    ,     

其中 为满足 的虚数单位.

证明 因为以 为周期的连续函数 在 上有直到 阶连续导函数,则有 , ,从而 ,再由命题1知

             

继续下去可得

假设对于 时有

       , 

成立.

   因为函数 有直到 阶连续导数,根据分部积分公式可得

       

从而

      ,  

由数学归纳法得 时成立,所以

当 为奇数时

           ,  

同理可以证得

当 为偶数时来~自^吹冰论+文.网www.chuibin.com/

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