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1  反证法的基本概念与思想

 牛顿曾经说过：“反证法是数学家最精当的武器之一”.当我们遇到无法直接下手的命题时候，让我们改变下思维，从结论入手，反向思考一下，我们就会找到解决难题的办法. 我们需要学会构造反证法，这样才能更好地掌握它. 想要将反证法的重要性充分发挥，还需要我们根据具体的命题找出对应的否命题. 同时反证法的解题方法，也根据题目不同，方式多变.

“否定-推理-矛盾-肯定”，是反证法的基本思想. 这种证明方法往往令学生难以理解，主要归结于它的证明过程十分困难，虽然上一步到下一步的论证过程完全符合逻辑，但是它的每一步都是不可能发生的.论文网

反证法通常包括以下三个步骤： 

第一步：假定原命题的结论不成立；

第二步：根据反设严密推理直至导出矛盾；

第三步：肯定原命题的正确性.

那种直接证明有很大困难的题目，从题目反面入手往往更加容易.这时候我们就可以使用反证法，不过数学分析的命题多种多样，纷繁复杂. 什么样的题目该用反证法这也是我们需要掌握的.

2  如何正确找出某些数学分析命题的否命题

 首先正确的否定命题的结论是我们运用反证法的首要前提.例如命题“   ” 的否定就是“ ”，但对命题“ 在 上有界”，虽然其否定是“ 在 上无界”，但是想要正确写出否命题，我们还是要对函数有界与无界的定义具有深刻的认识，即“ 在 上有界”是指“存在某个正数 ，对所有的 ，使得   成立”，要写出“对所有的”以及“存在”的否定形式是比较困难的.如果命题中出现“对所有的”或“存在”这种量词时，此时我们必须将“对所有的”改为“存在”，“存在”改为“对所有的”，同时还要否定“这件事情发生”.那么“ 在 上有界”的否定，形式应为“对所有的正数 ，存在 ，使得 成立”.

    正确的找出一个命题的否命题，这还是我们需要不断培养的一种思维能力，同时还需要我们不断的探索和总结.文献综述

3  宜用反证法证明的数学分析命题

在我们学习数学分析的过程中，我们遇到了形形色色的题目.那么到底什么样的命题适合使用反证法来证明呢？接下来我们便做一个详细的讨论.

3.1  函数的单调性问题

在我们处理函数的单调性问题的时候，通常我们使用定义来证明其单调递增或者单调递减.用惯了定义，我们能否使用反证法来证明呢? 让我们一同分析.

    例1 设函数 在 上连续，对 上任意两个有理数 ，有 ，则 在 上为递增函数.

    证明  假设存在  ，但 （即若 不是单调递增函数）.

由于 的连续性，对于数 ,

必定存在 使得 ，

因为有理数具有稠密性，故必存在有理数 与 ，且 .

    这与假设 相矛盾，所以 在 上为递增函数（严格）.

3.2 函数的有界性问题来.自/吹冰·论|文-网·www.chuibin.com/

    分析完了函数的单调性，我们放大思考范围，一同探讨下函数的有界性问题.

例2 试证明：若函数  在有限区间 内可微，但无界，则其导函数 也无界。