在定理1的证明过程中，可以发现对定理1的条件作出更为精确地描述．即对于单调递增数列，只需要求其有上界即可；同样的对于单调递减数列，只需要求其有下界即可．因此，容易得出以下两个定理．源'自:吹冰`!论~文'网www.chuibin.com

    定理2  在实数系中，有上界的单调递增数列必有极限．

    定理3  在实数系中，有下界的单调递减数列必有极限．

    注 以上的两个结论都可从定理1的证明中容易得出．

3  单调有界定理的应用

3.1  单调有界定理在数列极限方面的应用

3.1.1  单调有界定理在求解某些具体数列极限方面的应用

    例1  判断序列 的收敛性，若收敛，求 ．

    分析  因为题目所求为数列收敛问题且给出了具体表达式．因此可以尝试比较数列前后两项大小关系，判断其单调性；想方设法地找出数列的界值．进而可以用单调有界定理来判断其收敛性．

    解  令 ，则有故有源'自:吹冰`!论~文'网www.chuibin.com

这就证明了 为单调递减数列．又有上式对一切正整数 都成立，即数列 有下界．则由定理3，就知道数列 有极限．设 ，再由 转换得 ，两端取极限得  ．从而解得 ．即 ．

    例2  判断序列 收敛性，若收敛，求极限 ．

    分析  此题也是某些给定的具体数列，因而也可以尝试用单调有界定理判断其收敛性．只是在判断数列单调性的方法上具有一定的技巧性．

    解  因为当 时，有 成立．对其做恒等变换有