摘要：本文主要通过了解常微分方程有关概念，认识龙格-库塔(Runge-Kutta）方法求解常微分方程的设计思想；运用标准的四阶龙格-库塔法，对数学上以及现实中的微分方程初值问题进行数值求解，并利用数学软件编程进行计算，最后得到适用于实际问题的解决方案。48785

毕业论文关键词：常微分方程；龙格-库塔方法；初值问题；传染病动力学模型

Application of Runge-Kutta Method to Solve the Ordinary Differential Equation in Practice

Abstract：This paper mainly introduce the method of solving the initial value problem of ordinary differential equation of a kind of numerical method, Runge Kutta (Runge Kutta).Then use the standard fourth-order Runge Kutta method, on the differential equation problem in practice of numerical solution, and make programmes to calculate by using math software, finally obtain the suitable solution of practical problems.  

Keywords:Ordinary differential equations；Runge-Kutta method；Initial value problem；

Infectious disease dynamics equations

目    录

摘要 1

引言 2

1.常微分方程基本概念 3

2.龙格库塔方法 3

2.1 龙格库塔法原理 3

2.2龙格库塔公式的推导 3

3.龙格库塔法的应用 7

3.1龙格库塔法解初值问题 7

3.2龙格库塔法求解小船过河问题 9

3.3传染病动力学模型的龙格库塔法算例 10

4.总结 13

参考文献 14

致谢 15

龙格-库塔法在求解常微分方程实际问题中的应用引言

在自然界和人类工程技术活动中，微分方程在各个领域的应用非常广泛。物理、化学、航空航天、经济、天文、自动控制和经济领域的许多原理[1]和规律都可以用常微分方程来描述。随着计算机的广泛应用，有更多的领域涉及到常微分方程的求解问题，微分方程是表现自然现象演变最基本的数学方法，求解微分方程是人们探索物质世界运动规律的需求。

目前求解常微分方程有欧拉法、 阶方法、改进的欧拉法、龙格-库塔法这些较常用的方法[2]。龙格库塔法是数值分析课程中，关于求解常微分初值问题的一种数值方法，相比于其他方法，龙格-库塔(Runge-Kutta）方法具有较高的精度，易于调节步长，且计算稳定，其解连续地依赖于初值。在一些气象数值预报、传染病动力学模型的求解、弹道轨道的定位[3]、自动控制的设计等精度要求很高的问题上，就需要运用数值分析的原理对其计算误差进行抑制。总而言之，龙格库塔法在求解常微分方程实际问题中的应用的研究有较强的理论和现实意义。

本文分为四部分。第一部分了解常微分方程及其有关概念；第二部分认识龙格-库塔法求解常微分方程的设计思想，并掌握龙格库塔法求解微分方程初值问题的公式；第三部分主要利用四阶龙格库塔法，解决数学上以及现实生活中的初值问题，提高近似值精确度；第四部分作为全文的总结。

1.常微分方程基本概念

牛顿和莱布尼兹在300多年前创立的微积分在自然界和科学技术中应用非常广泛，物理、化学、航空航天、经济、天文、自动控制和经济领域的许多原理和规律都可以用微分方程来描述。我们把变量与它的瞬时变化率之间的联系用数学语言表达,源^自#吹冰L文W论/文]网[www.chuibin.com，其结果就是微分方程。求解微分方程是人们探索物质世界运动规律的需求。