摘要：本文主要是通过对洛朗·施瓦兹的著作的查阅和了解.主要讨论了什么是广义函数及其广义函数的性质，最后又通过查阅书籍了解到广义函数在现代力学，工程学等的广泛作用.由此，写出了这篇广义函数在高等数学中的应用的论文.42827

毕业论文关键词：广义函数;洛朗˙施瓦兹;脉冲函数

Generalized Functions in Advanced Mathematics

    Abstract: This paper mainly through the writings of Laurent Schwartz discusses access and understand what is the nature of generalized functions and generalized functions,and finally learned that the generalized function in modern mechanics, engineering review of books the broader role. Thus，writing a paper application of this generalized function in higher mathematics.

    Keywords: generalized functions; Laurent Schwartz;Pulse Function .

目    录

摘  要 1

引言 2

1.在经典意义下对 函数的理解 3

1.1  弱收敛函数序列的弱极限 3

1.2 函数的性质 3

1.3 函数与黎曼积分之间的关系 4

2. 广义函数在力学中的微积分运算 7

2.1奇异函数的性质 7

2.2 广义函数在力学中的应用 8

2.3  应用实例 9

3.广义函数在偏微分方程上的一些应用 10

3.1广义微分方程 10

3.2柯西问题 11

结束语 14

参考文献 15

致谢 16

广义函数在高等数学中的应用引言

说起广义函数不能不提到的一个重要人物是洛朗˙施瓦兹，洛朗˙施瓦兹为法国科学院的院士，布尔巴基学派第二代广义函数论的创始人的一个重要成员.由于他在广义函数方面的原创性工作使他获得了1950年的“菲尔兹奖”.洛朗˙施瓦兹是第一个取得该奖的法国人，被人们广泛认为是20世纪最伟大的法国数学家.随着自然科学的成长，经典函数的概念不能得到满足，因此，广义函数的概念将得到发展.首先我们先来介绍工程技术中常用的 函数.设想在无限长细棒上有一质量分布，只集中在一点 处，总质量为1个单位.也就是说，一假想的密度函数 ，当 时， =0，在 时处，密度是无限大的，和积分的密度函数的总质量是1： ，而我们从实变函数中知道，一个仅在一点不为0的函数，是几乎处处为零的，其积分应当是0，怎么会是1呢？这类 在工程里也常常遇到，例如无线电工程中考察脉冲，在极短的时间内爆发出一个单位能量的信号，和刚才上述描述的质量分布的类型相似.

即便是这样，人们还是无法理解在二十世纪初形成的经典函数概念在当时是不是实用.当我们认真探讨 的定义时，如果从勒贝格积分的概念出发去理解，它2个条件是互相矛盾的.如何调和已被广泛应用于函数定义中的矛盾，人们对第一个接触函数非常重视.到1950年左右由于泛函分析的发展认识，加深了对这奇怪函数的了解.

1.在经典意义下对 函数的理解

1.1弱收敛函数序列的弱极限

    考虑脉冲函数       （1）

对于不同的 值， 为一个弱收敛的函数序列，其中每个函数都是一般常量函数.很简单发现 函数的一个重要性质，即任意连续函数 有                                                                                       (2)