摘要  本文由浅入深,通过对简单题目进行深入思考、猜想后,借助高等代数方法对一种分母较为复杂(含有 次根式)的代数式分式进行分母有理化,并给予证明,辅以例题体会应用.给复杂的代数式分式进行分母有理化提供了一个切实可行的方法.40888
毕业论文关键词  行列式;计算方法与技巧;有理化;带余除法
不论是在初等数学还是高等数学中,分母有理化都是一个十分重要的内容,通常情况下我们使用平方差公式对形如: 的分式进行分母有理化,使之恒等的化为 的形式,但若分母上不止二次根式,有三次甚至 次根式的时候平方差公式就不是很好用了.在初等数学的范围内,对于形如 的代数式分式,我们几乎是束手无策的,于是我们应该换一个角度来思考这个问题——利用高等代数的知识进行思考.本文将从行列式和多项式两个方面解决这一问题.
一、行列式法
首先我们来从一道研究生入学考试高等代数真题入手:
例1  (华东师范大学2008高等代.20)
易知,当 、 是不全为零的有理数时,成立等式 
(1)证明:当 、 、 为不全为零的有理数时,有
(2)请将(1)中的公式推广到一般情形.
证明   ,
即有:
 ,
从而得证.
推广  通过观察上式,若将2和4换成字母 表示则可以得到一个普遍的规律即:
 (*).
思考  对于例1这道真题的第一问,我们其实采用的是验证的方法,验证了该式确实是恒等的.那么,我们有没有其他方法证明呢?
定理1  齐次线性方程组
 
有非零解的充分必要条件是它的系数矩阵
 
的行列式值为零.
为了对分母进行有理化,我们不妨将分母设为一个整体 来进行考虑.对其做如下处理:
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