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Lebesgue积分的应用
摘要:本文利用 积分理论解决分析的问题,它比 积分更加方便,大大地开拓了我们的
数学
视野,提高了我们认识问题、解决问题的能力.
毕业论文
关键词: 积分; 积分;可积
我们知道黎曼积分具有一定的局限性,用它处理有些问题显得不太方便,有时甚至解决不了问题.而勒贝格积分的适用范围更加广泛,它比黎曼积分更加深刻,它能使我们更加方便、灵活的处理问题,揭示问题的本质.40030
预备知识
1、 ( 定理)设 为可测集, 为 上的一列非负可测函数,当 时,对任一自然数 ,有 ,令 ,则
2、 设 为可测集, 是 上的实函数.如果对于任意的 , 作为 的函数在 上 可积,对于 的 , 作为 的函数在 上可导且 ,这里 是 上某个非负 可积函数,则 作为 的函数在 上可导,则
3、(逐项积分定理)设 为可测集, 为 上的一列非负可测函数,则
4、(贝塞尔( )不等式)设 是内积空间 中的有限或可数规范正交系,那么对每个 ,成立不等式
.
5、设 是内积空间 中可数规范正交系,则对任何 ,
6、(斯捷克洛夫定理)设 是希尔伯特空间 中规范正交系,若帕塞瓦尔等式在 的某个稠密子集 上成立,则 完全.
7、(可积的第三充要条件)函数 在 上可积的充要条件是:任给正数 、 ,总存在某一分割 ,使得属于 的所有小区间中,对应于振动 的那些小区间 的总长
例1 计算 ,1、 2、 3、
解 由 定理可知:1、 = .
2、 .
3、 .
方法二:由 定理知,对任意 ,存在子集 ,使 在 上一致收敛,且 ,故
,故
.
同理可得: , .
例2 求 ,此处 ,
解:方法一 令 ,则
, 作为 的函数在 上L可积, 作为 的函数在任何有限区间 上可导且
, ,这里 是 上某个 可积函数,故
同理可得,
方法二 令 ,因为 ,
,故 不是瑕点.
, , .
收敛,故 收敛
对任意给定的 ,因为 ,
所以 对 一致收敛,由 的任意性知
同理可知 .
(推广形式的可微性定理)设 与 在区域 上连续,若 在 上收敛,对任意给定的 , 在 上一致收敛,则
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