例1  判断 的奇偶性.
解  由于 ,所以 ,又因为 ,所以 ,
故 是奇函数.
例2  设 是奇函数且不恒等于0,试说明 的奇偶性( ).
解  设 ,则            
所以 是奇函数,由于 是奇函数,所以 是偶函数,即 是偶函数.
定义2  若函数 对定义域中任意 均有 (其中T是不等于0的常数),则 是周期函数.
定义3   图像的对称性包括轴对称和中心对称这两种,如果函数 满足 ,那么 的图像就是关于 对称的.如果函数 满足 ,那么 图像就是关于 对称.
函数的奇偶性,周期性和图像的对称性是函数的基础性质,只有对三者进行深入的剖析,全面掌握其深刻内涵,才能更好的研究函数的性态,下面来探讨三者之间的关系.
1 .由函数的对称性和奇偶性能推出函数的周期性
例3  如果 为奇函数,图像关于 对称,证明:那么 是以 为周期的周期函数.
证明  因为 的图像关于 对称且是奇函数,
所以                
所以 是 的周期函数.
2 .由函数的对称性和周期性可以推出函数的对称性和奇偶性
例4  (1)设 的图像关于 对称,且 的周期函数,证明 的图像关于 对称.
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