和 其中 , ,  和
 .  是 中的单位向量, 是单位球面的表面面积.
 在无穷远点附近. 若 ,则和
    显然,命题 对于理解方程组(1.1)正解的性质是很有帮助的.
本文主要考虑 时方程组(1.1)解的性质. 我们首先证明证明PDE方程组(1.3)和积分方程组(1.1)的等价性. 接下来,我们证明(1.1)的有限能量解是局部有界的,最后证明(1.1)的局部有界解是轴对称的.
定理1.1  设 是PDE方程组(1.3)在(1.2)条件下的一对正解,若 且 ,那么如果不考虑常数,则 也是积分方程组(1.1)的解.
定理1.2  若忽略常数,则积分方程组(1.1)的解也是PDE方程组(1.3)的解.
定理1.3  若 是方程组(1.1)在(1.2)条件下的一对有限能量解,那么 .
定理1.4  设 是(1.1)在(1.2)条件下的正解. 若
 则 是关于包含原点的某个轴对称的且关于这个轴递减.
注记: (1) 在有限能量解的正则性意义下,命题1.2给出了最佳可积性. 这里,定理1.3证明有限能量解必须是局部有界的.
     (2) 命题1.1给出有限能量解具有径向对称性质. 这里,定理1.4证明局部有界解的轴对称性.
     (3) 根据定理1.1,对于分数阶偏微分方程(1.3)的正解,定理1.3的结果仍然是成立的.
     (4) 定理1.1和定理1.4证明的难点就在于情形 的处理. 为了解决定理1.1的问题,我们需要利用可积条件和更复杂的分析技巧. 为了解决定理1.4的问题,我们需要利用[12]中的方法来处理.
2 等价性
在这部分,我们将证明定理1.1和定理1.2.
    为了证明定理1.1,我们首先给出以下结果.
定理2.1. 在(1.2)的条件下,若 是        (2.1)
的一对正解,其中 是正整数. 若 ,那么对于 ,
 证明  对于 和 ,我们利用Chen-Li[3]介绍的重置中心的方法来证明.
记我们需要证明对于 ,有 .
第一步 我们证明 .
     否则,存在 使得                               .                                (2.2)
我们将用五步推导出矛盾.
    (i) 定义 的第一次平均为记 这里 . 那么对于 ,我们有
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