Hilbert主不变子空间的刻画
毕业论文关键词：Hilbert 空间；不变子空间；主不变子空间；非退化主不变子空间
Principal invariant subspaces
Abstract:In this paper , we present the existence for which the given pair of closed subspaces has a pair of principal invariant subspaces、non-trivial principal invariant subspaces and non-trivial non-degenerate principal invariant subspaces. Using this we prove that the pair (F,G) of closed subspaces with has a pair of non-trivial principal invariant subspaces if and only if . Also we show that every pair (F,G) of closed subspaces with or has a pair of non-trivial principal invariant subspaces. Similar results are proved for non-degenerate non-trivial principal invariant subspaces.
Keywords: Hilbert space; invariant subspace; principal invariant subspace; non-degenerate principal invariant subspace
目录
摘要 i
关键词 i
目录 ii
1 绪论 1
1.1 课题的目的和意义 1
1.2 国内外研究现状和发展趋势 1
2 引言 3
3主不变子空间的存在性 4
4 非平凡主不变子空间的存在性 10
5 非退化非平凡主不变子空间的存在性 16
6 结论 19
致谢 20
参考文献 21
1 绪论
1.1 课题的目的和意义
算子理论中，最著名的悬而未决的问题之一就是不变子空间问题，有时也被称为不变子空间猜想。不变子空间问题是算子理论中具有重要地位的一个基本问题，这个问题就是如下命题是否成立：
给定一个文数不小于2的复希尔伯特空间 ，以及一个有界线性算子 ，则 有一个非平凡闭 -不变子空间，即存在 的一个不同于 和 的闭线性子空间 ，使得 。
该命题对于所有2文以上有限文复向量空间是成立的：一个线性算子（矩阵）的特征值是其特征多项式的零点；根据代数基本定理，这个多项式存在零点；一个对应的特征向量可以张成一个不变子空间。
虽然该猜想的一般情况未获证明，但许多学者对该问题已经做了较深入的研究，并且获得了一些结论：
谱定理表明所有正则算子有不变子空间。
Aronszajn和Smith于1954年证明每个紧算子有不变子空间。
Lomonosov于1973年证明若T和某个非零紧算子可交换，则 有不变子空间。
主不变子空间的概念是不变子空间的概念的推广。本篇论文则希望能在现有的研究结果上，对主不变子空间的性质有更进一步的研究和讨论。将其推广到更加一般的情况上去，并总结得出主不变子空间的一些良好性质。
1.2 国内外研究现状和发展趋势
2 引言
设 和 为复Hilbert 空间， 表示从 到 的全体线性变换构成的集合，并且将 简记为 。任一算子 ，分别记 ， 和 为 的谱，点谱和值域。
一个闭子空间 是算子 的不变子空间当且仅当 ，当且仅当 ，其中 为 上的正交投影。如果向量子空间不为 和 ,那么它是非平凡的。
定义2.1（[3]）设 和 为 的闭子空间，且 和 分别是 和 的闭子空间，如果 且 ，则 是 和 一对主不变子空间。如果 且 ，则主不变子空间 是非退化的。
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