函数是刻画现实世界变量之间关系的重要数学模型,与不等式有着密切关系,函数有许 多性质:单调性、凸性、极值等。利用函数的这些性质,结合辅助函数,经常可以巧妙地证 明不等式。同时,从实例函数出发,考究函数的性质,还能构造新的不等式。 

本文将依次研究函数的单调性、凸性、微分中值定理以及极值,分析它们与不等式之间 的联系。对一些已知的不等式,用函数的方法进行证明;对一些常见的函数,则深入挖掘它 的性质,给出新的不等式。 

一、函数的单调性在不等式研究中的应用

单调性是函数的一个重要性质,可以定性描述函数值与自变量在一个区间内变化的关 系。在不等式的研究中,构造辅助函数并利用其单调性研究不等式是一种常见的方法。 

1。1 函数的单调性

定义 1。1。1 一般地,设函数 f (x) 的定义域为 I 。 

如果对于属于定义域 I 内的某个区间上的任意两个自变量的值 x1 , x2 ,当 x1  x2 时,

[1]

都有 f (x1) f (x2 ) ,则称 f (x) 在这个区间上是增函数 。 

如果对于属于定义域 I 内的某个区间上的任意两个自变量的值 x1 , x2 ,当 x1  x2 时,

都有 f (x1) f (x2 ) ,则称 f (x) 在这个区间上是减函数 。 

[1]

由上面的定义可知:函数值随自变量的增大而增大的函数为增函数;函数值随自变量的 增大反而减小的函数为减函数。利用差商,我们还可以把定义 1。1。1 写成用如下等价定义。 

定义 1。1。2 [1]  设函数 f (x) 的定义域为 I ,区间 X I ,对于 X 上的任意两个自变量

x1 , x2 ,且 x1  x2 。 

若 f (x1 ) f (x2 ) 0 ,则称 f (x) 在这个区间上是增函数。 

x1  x2

若 f (x1 ) f (x2 ) 0 ,则称 f (x) 在这个区间上是减函数。 

x1  x2

由定义 1。1。2 并结合函数的导数相关知识,可以得到如下定理。 

定理 1。1。1 [ 2 ](导数的符号与函数单调性的关系) 若 f (x) 在[a,b] 上连续,在 (a,b) 上可导,则 f (x) 在[a,b] 上单调增加(或单调减少)的充要条件为在 (a,b) 内 f (x) 0(或 f (x) 0 )。 

证明 就单调增加的情形给出证明(单调减少的证明类似)。 先证必要性,即证 

f x单调增加 f x0 。 论文网

因 f (x) 在 (a,b) 上可导,故对 (a,b) 内任一点 x0 ,有 

又因 f (x) 单调增加,所以不论 x x0 还是 x x0 ,总有 

再根据极限的性质,便可得到 

  f x  f x0   0 , 

x x0

f x0   lim

f x f x0   0 。 

再证明充分性,即证 

不妨设 x1, x2 a,b且 x1  x2 ,根据 Lagrange 中值定理得 

f x2  f x1    f  x2   x1    x1     x2  。 

因为假设 f x0 ,且 x2 x1  0 ,于是由上式可知,必有 

f x2  f x1   0 , 

即 f x2    f x1   x2   x1 ,这就是说 f x是单调增加的。 

    从充分性的证明中容易看出,可有以下推论。 

推论 1。1。1 [3]     若 f (x) 在[a,b] 上连续,在 (a,b) 上可导,且 f (x) 不变号,那么 

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