矩阵广义逆的表示+文献综述(2)

证明：设。若 ,则是零矩阵，可以验证零矩阵满足四个Penrose方程。若，由定理2.1可知存在阶酉矩阵和阶酉矩阵，使得
，
其中，而是的非零奇异值。记
，
则易验证满足四个penrose方程，故的Moore–Penrose逆存在。
    再证明唯一性。设也满足四个Penrose方程，则


因此，从而的Moore-penrose逆是惟一的。
    此时

若是非奇异矩阵，容易验证满足4个方程。根据定理2.2得
。
定理2.3[10]设，且的满秩分解为
     ，
则
。
证明：由定理2.3可知，
，
从而与都是阶可逆矩阵，记

容易验证满足四个Penrose方程，故。
引理2.2 对于任意矩阵A的秩为 ,则有列满秩矩阵和行满秩矩阵，使得。
定理2.4[11]设，，由引理2.2可知存在阶的可逆矩阵及阶可逆矩阵，使

则阶矩阵使得的充分必要条件是