例说通过问题的变化培养中学学生数学的审题能力
老师在教学过程中都会千方百计的去培养学生的审题能力。我们可以有意识的改变一些问题的条件或者一
些重要字眼，从而通过问题的变化培养学生的审题能力。4001
[关键词] 中学数学问题的变化审题能力
一．通过改变问题的一些重要字眼培养学生的审题能力
例 1．已知 P（1，2）为圆 x2+y2=9 内一定点，过 P 作两条互相垂直的任意弦分别交圆
于点 B、C，则 BC 中点 M 的轨迹方程为____________.
解析：Rt△OMC 中，|MP|=
设点 M 的坐标为 M (x,y)
1
|BC|=|MC|（直角三角形斜边上的中线是斜边的一半）.
2
=
∴ ( x − 1) 2 + ( y − 2) 2
9 − ( x2 + y 2 )
故所求轨迹方程为 x2+y2－x－2y－2=0.
点评：两条互相垂直的弦交圆于四个点，显然 B、C 两点的位置是解题的关键，因此题目中分别两个字
是重要的字眼。我们老师可以把这两个字去掉让学生再去解答，培养学生的审题能力。学生通过认真分析
会发现此时已经需要对 B、C 两点的位置进行分类讨论。因此所述所求轨迹方程也变为 x2+y2－x－2y－2=0.
或 x2+y2－x－2y=0.
二．通过改变问题的条件（或隐含条件）培养学生的审题能力
例 2.（2004 年全国Ⅱ，8）在坐标平面内，与点 A（1，2）距离为 1，且与点 B（3，1）距离为 2 的直
线共有
A.1 条
B.2 条
C.3 条
D.4 条
点评：本题可以做如下的两种变化培养学生的审题能力。其中问题变化 1 是把原题的定量变为变量，
问题变化 2 是把原题的定量变化为一个比值。这三道题目学生在解答完之后会恍然大悟真正的明白了审题
的重要意义。
问题变化 1：在坐标平面内，与点 A（1，2）距离为 t（t≥0 且 t 为常数），且与点 B（3，1）距离为 2t
的直线共有多少条？
问题变化 2：在坐标平面内，与点 A（1，2）、点 B（3，1）距离比为 1：2 的直线共有多少条？
数学问题中隐含条件能否挖掘得出，往往直接影响了问题的解答结果。因此在教学的过程中我们老师如
果能够经常改变问题的条件（或隐含条件）则可让学生在审题中多一份细心，从而培养了学生的审题能力。
三．通过改变问题的呈现形式培养学生的审题能力
例 3 ． (2004 湖 南 ) 设 f(x),g(x) 分 别 是 定 义 在 R 上 的 奇 函 数 和 偶 函 数 , 当 x<0 时 ,
f ′( x) ⋅g(x)+ g ′( x) ⋅f(x)>0 且 g( − 3)=0,则不等式 f ( x) ⋅ g(x) <0 的解区间是( )
A. ( − 3,0) ∪ (3, +∞)B. ( − 3,0) ∪ (0,3)
C. ( −∞, −3) ∪ (3, +∞)D. ( −∞, −3) ∪ (0,3)
问题变为: 设 f(x),g(x)分别是定义在 R 上的奇函数和偶函数,当 x<0 时, f ′( x ) ⋅g(x)+ g ′( x ) ⋅f(x)>0 且
g( − 3)=0,则方程 f ( x ) ⋅ g(x) =0 的解集是_________.
问题的不同呈现形式既沟通不同知识的联系，又培养学生的审题能力。让学生明白了随着问题的呈现形
式的改变，所解（证）的问题已经截然不同，从而明白了审题的重要性。
总之在我们的教学过程中还有许许多多的好的方法来培养学生的审题能力，但我认为我们通过问题的
变化培养学生的审题能力是一种很好的方法。
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