利用折纸来得到圆锥曲线包络线的探究拓展
的探究拓展问题进行系统具体的解答及利用数学软件《几何画板》进行计算机模拟折纸过程进行教学的多
媒体实现，然后给出了包络线的一些扩展，同时给出了该知识的应用，包括高考及高中数学联赛中出现的
考察该知识的题型.
【关键词】折纸 圆锥曲线 多媒体
一． 折纸问题
问题 1.教材 P27 第 6 题：（操作题）准备一张圆形纸片，在圆内任取不同于圆心的一点 F，将纸片折
起，使圆周过点 F，然后将纸片展开，就得到一条折痕 l，这样继续下去，得到若干折痕，观
察这些折痕围成的轮廓，它们形成什么曲线？
问题 2.教材 P37 第 7 题：（操作题）在纸上画一个圆，在圆外任取一定点 F，将纸片折起，使圆周通
过 F，然后展开纸片，得到一条折痕 l，这样继续下去，得到若干折痕. 观察这些折痕围成的
轮廓，它们形成什么曲线？
问题 3.教材 P41 第 9 题：（操作题）将一张长方形纸片 ABCD 的一个角斜折，使 D 点总是落在对边 AB
上，然后展开纸片，得到一条折痕 l，这样继续下去，得到若干折痕. 观察这些折痕围成的轮
廓，它们形成什么曲线？
二． 多媒体实现
1．针对问题 1 分析： 因为圆周过点 F，必然可以在圆周上找到与 F 关于折痕 l 对称的点 E，在用《几何画
板》模拟时，折痕可以看作是线段 EF 的垂直平分线 l，只要用计算机跟踪这条垂直平分线就可以观察
出折痕所围成的图形.观察可以得到结论：折痕围成的轮廓是一个椭圆.
2．针对问题 2 分析： 采取和问题 1 一样的处理方法.观察可以得到结论：折痕围成的轮廓是双曲线的一部
分.
3．针对问题 3 分析：D 点总落在对边 AB 上，那么一定可以在 AB 上找到 D 关于折痕的对称点 P，在用《几
何画板》模拟时，折痕可以看作是线段 DP 的垂直平分线 l，只要用计算机跟踪这条垂直平分线就可以
观察出折痕所围成的图形.观察可以得到结论：折痕围成的轮廓是抛物线的一部分.
三． 数学证明及其应用
1.
问题 1 通过计算机实现可以看出模拟结果是个椭圆，但这个椭圆到底是哪个点运动得到的轨
迹？为什么是椭圆呢？以下给出证明.
2.
问题 2 中也容易看出所得的轮廓在圆内部是双曲线一支的一部分.
通过问题 1 和问题 2 的解答，可以发现:
(1)折痕所围成的轮廓到底是椭圆还是双曲线取决于任取的点 F 是在圆内（椭圆）还是圆外（双曲线），
同时该点必为所得椭圆或双曲线的一个焦点，另外一个焦点为已知圆圆心.
(2)以椭圆（或双曲线）的其中一个焦点为圆心，以长轴（或实轴）长为半径的圆上任一点与另一个焦
点连线段的中垂线，必与该椭圆（或双曲线）相切.
事实上，问题 1 与问题 2 所得到的图形有个很形象的名称叫做椭圆和双曲线的包络线，以下问题 3 将
得到抛物线（一部分）的包络线.
问题 3 中得到的是抛物线的一部分，那是哪点所运动得到的轨迹？易见折纸所得折痕围成轮廓显然为
抛物线的一部分.
四． 问题探究及知识拓展
以上我们得到了圆锥曲线包括椭圆，双曲线，抛物线的包络线，那我们可以类比联想怎样可以得到圆
的包络线？同时问题 3 中只是得到抛物线的一部分，怎样可以得到完整的抛物线呢？
五． 总结：
通过对以上折纸问题的讨论，我们得到了圆、椭圆、双曲线、抛物线的包络线以及对其进行了计算机
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