微积分的发展史论文 第3页
念作了进一步提炼。该文以清楚明白的流数语言，表述了微积分的基本问题。《求积术》是牛顿最成熟的微积分著述。牛顿在其中检讨了自己以往随意忽略无限小瞬的做法，一改对无限小量的依赖，提出了“首末比方法”，他举例说明自己的新方法如下：
为了求 的流数，设 变为 ， 则变为 ，
构成两变化的“最初比”： ，
然后“设增量 消逝，它们的最终比就是 ”，这也是 的流数与 的流数之比。这就是“首末比方法”，它相当于求函数自变量与因变量变化之比的极限，因而成为极限方法的先导。
牛顿对于发表自己的科学著作态度谨慎。上述三篇论文的发表都很晚，《流数法》甚至在他去世后才正式发表。牛顿微积分学说最早的公开表述出现在1687年出版的力学名著《自然哲学的数学原理》之中。因此该书也成为数学史上的划时代著作。
《自然哲学的数学原理》被爱因斯坦盛赞为“无比辉煌的演绎成就”。全书从三条基本的力学定律出发，运用微积分工具，严格地推导证明了包括开普勒行星运动三大定律、万有引力定律在内的一系列结论，并且还将微积分应用于流体运动，声、光、潮汐、彗星乃至宇宙体系，充分显示了这一全新数学工具的威力。
尽管牛顿发明微积分主要是依靠了高度归纳算法的能力，即“新分析法”，但《自然哲学的数学原理》中并没有明显的分析形式的微积分。相反，整部著作却以综合几何语言写成。就数学而言，这种披在微积分上的几何外衣，使牛顿的流数术显得僵硬呆板。18世纪的英国数学，正是由于固守牛顿的几何形式而未能得到应有的发展。
2、莱布尼兹的微积分
与牛顿流数论的运动学背景不同，莱布尼兹创立微积分首先是出于几何问题的思考。1673年，他因在帕斯卡的有关论文中“突然看到一束光明”，而提出了自己的“微分三角形”理论。借助于这种无限小三角形，他迅速地、毫无困难地了建立大量定理，其中包括后来“在巴罗和格里高利的著作中见到的几乎所有定理”。
在对微分特征三角形的研究中，莱布尼兹逐渐认识到了什么是求曲线切线和求曲线下面积的实质，并发现了这两类问题的互逆关系。他的目标，是要比巴罗等人更上一层楼，建立起一种更一般的算法，将以往解决这两类问题的各毕业论文http://www.751com.cn/ 论文网http://www.lwfree.com/布尼兹便在序列的求和运算与求差运算间发现了它们的互逆关系。从1672年开始，莱布尼兹将他对数列研究的结果与微积分运算联系起来。他通过把曲线的纵坐标想象成一组无穷序列，得出了“求切线不过是求差，求积不过是求和”的结论。
莱布尼兹首先着眼于求和，从最简单的直线函数开始，并逐渐从一串离散值增量过渡到任意函数的增量。在1675年10月29日的一份手稿中，他引入了我们现在熟知的积分符号“ ”，这显然是求和一词sum首字母的拉长。稍后，在11月11日的手稿中，他又引进了微分记号dx来表示两相邻x的值的差，并开始探索 运算与d运算的关系。一年之后，莱布尼兹已经能够给出幂函数的微分与积分公式。不久，他又给出了计算复合函数微分的链式法则。1677年，莱布尼兹在一篇手稿中明确陈述了微积分基本定理。给定一条曲线，其纵坐标为 ，求该曲线下的面积。莱布尼兹假设可以求出一条曲线（他称之为“割圆曲线”），其纵坐标为 ，使得： ，即 。于是原来曲线下的面积是： ，莱布尼兹通常假设曲线 通过原点。这就将求积问题化成了反切线问题，即：为了求出在纵坐标 的曲线下的面积，只需求出一条纵坐标为 的曲线，使其切线的斜率为 。如果是在区间[a,b]上，由[0，b]上的面积减去[0，a]上的面积，便得到： 。
1684年莱布尼兹发表了他的第一篇微分学论文《新方法》，这也是数学史上第一篇正式发表的微积分文献。该文是莱布尼兹对自己1673年以来微分学研究的概括，其中定义了微分并广泛采用了微分记号，并明确陈述了函数和、差、积、商、乘幂与方根的微分公式：
我们知道，莱布尼兹还得出了复合函数的链式微分法则，以及后来又将乘积微分的“莱布尼兹法则”推广到了高阶情形： 。
这些表明莱布尼兹非常重视微积分的形式运算法则和公式系统。《新方法》还包含了微分法在求极值、拐点以及光学等方面的广泛应用。（莱布尼兹手稿）
1686年，莱布尼兹又发表了他的第一篇积分学论文《深奥的几何与不可分量及无限的分析》。这篇论文初步论述了积分或求积问题与微分或切线问题的互逆关系。在这篇积分学论文中，莱布尼兹给出了摆线方程为：
，
目的是要说明他的方法和符号，可以将一些被其他方法排斥的超越曲线表为方程。而正是在这篇论文中，积分号 第一次出现于印刷出版物上。对符号的精心选择，是莱布尼兹微积分的一大特点。他引进的符号体现了微分与积分的“差”与“和”的实质，后来获得普遍接受并沿用至今。
三）微积分的完善
前面已经提到，一门科学的创立决不是某一个人的业绩，他必定是经过多少人的努力后，在积累了大量成果的基础上，最后由某个人或几个人总结完成的。微积分也是这样。
不幸的事，由于人们在欣赏微积分的宏伟功效之余，在提出谁是这门学科的创立者的时候，竟然引起了一场悍然大波，造成了欧洲大陆的数学家和英国数学家的长期对立。英国数学在一个时期里闭关锁国，囿于民族偏见，过于拘泥在牛顿的“流数术”中停步不前。
其实，牛顿和莱布尼茨分别是自己独立研究，在大体上相近的时间里先后完成的。