量子智能算法及在OFDM系统资源分配中的应用 第3页
2.1 量子信息基础
2.1.1 量子比特及其表示
著名物理学家费恩曼(Feynman)曾指出：量子力学的精妙之处在于引入几率幅(即量子态)的概念。事实上，量子世界的千奇百怪的特性正是起源于这个量子态。而量子理论的长期激烈争论的焦点也在于这个量子态。任何一个量子态Ψ可以表示成Hilbert空间(完备内积空间)的一个矢量，称为态矢量，Hilbert空间就是态矢量张起的空间，称为态矢空间【6】【7】态矢空间由多个基本量子态即本征态构成，基本量子态又称基本态或基矢。对于量子计算和量子信息处理而言，只需考虑有限量子系统和有限维Hilbert空间。
量子态及其作用在该量子态上的变换可用Hilbert空间的矢量和矩阵描述，或用更简洁的Dirac左右矢符号表示。右矢|x>表示列矢量，用于描述x代表的量子态，左矢<x|是右矢|x>的共轭转置，是行矢量。
在经典计算中，信息的基本单位是比特(bit)，或称二进制位，它的取值非“0”即“1”。在量子计算中，量子信息的基本单位是量子比特(quantum bit或qubit)，或量子位，它的取值除“0”(即|0>)或“1”(即|1>)外，还可以取“0”和“1”的任意线性叠加，如 ，即qubit可处于叠加态，在此， 和 为复数且 ，即qubit是归一化的。一个qubit的态可用二维Hilbert空间的单位矢量描述，即
                                 （2.1）
若 或 ，则qubit处于 态或 态；若 取一般复数值，则qubit处于叠加态 。这说明，qubit的态不是如经典bit那样确定性的非0即1，而是概率性(Probabilistic)的，它为 和 的概率分别是 和 。
2.1.2 量子态的叠加、相干和坍缩
量子计算【8】的基本特征是量子态的叠加性。线性叠加概念与矢量的线性组合有关，若 为 维Hilbert空间的一组基态，由于Hilbert空间的完备性，由基态组合所得到的任一线性叠加 也是该Hilbert空间中的一个矢量。所以，若量子系统可能处在一组 描述中，则其线性叠加态 也是该量子系统的一个可能态，量子系统这一性质被称为态叠加原理。
量子态 是所有基态 的一个线性叠加，从概率意义上说可以认为该量子态同时存在于所有基态之中。系数 为量子基态 的概率幅， 为复数且满足归一化条件 。概率幅 的模平方 表示对该量子态 进行测量时测量结果为量子基态 的概率。
相干(Coherence)和消相干(Decoherence)是与线性叠加的概念紧密相关的。如果一个量子系统处于基态的线性叠加之中，那么就称此量子系统是相干的；但是当一个相干的量子系统以某种方式与它所处的环境发生相互作用(例如对处于叠加态的量子位进行观察和测量)时，叠加态将受到干扰并发生变化，线性叠加将被破坏，由此所引起的相干的损失就称为消相干或坍缩(Collapse)。量子态 坍缩到基态 的概率为 ，由于 描述了一个真实的物理系统，它必定完全坍缩到某一个基态，所以由各 决定的概率之和一定等于1，这个约束条件即归一化条件为 。
2.1.3 量子门及并行计算
量子计算过程是对量子态的幺正演化过程，量子过程中的一切逻辑操作必须执行幺正操作。完成最基本的幺正操作的量子装置称为量子逻辑门，简称量子门(Quantum Gate)。量子门按照它作用的量子位即qubit的数目可分为一位门、两位门和多位门。
由于幺正变换的可逆性，所以量子门是可逆的，即输入态经过相当于 变换的量子门演化为输出态，输出态经过相当于 变换的量子门可还原为输入态，表达式为：                                            （2.2）      
在经典计算机中，“与”门、“或”门等是不可逆的，而量子逻辑门却是可逆的。量子逻辑门的可逆性是量子计算机的一个特点。为保证量子门的可逆性，除使量子门完成的逻辑操作为幺正变换外，还应使量子门的输入端数与输出端数相等。
量子计算最本质的特征就是利用了量子态的叠加性和相干性，以及量子比特之间的纠缠性。量子计算对经典计算作了极大的扩充，经典计算可看作是一类特殊的量子计算。在经典计算机中，信息的处理是通过逻辑门进行的。量子寄存器中的量子态则是通过量子门的作用进行演化，量子门的作用与逻辑电路门类似，在指定基态的条件下，量子门可以由作用于Hilbert空间中向量的矩阵描述。由于量子门的线性约束，量子门对Hilbert空间中量子状态的作用将同时作用于所有基态上，对应到n位量子计算机模型中，相当于同时对 个数进行运算，而任何经典计算机为了完成相同的任务必须重复 次相同的计算，或者必须使用 个不同的并行工作的处理器，这就是量子并行性。换言之，量子计算就是利用了量子信息的叠加和纠缠的性质，在使用相同时间和存储量的计算资源时提供了巨大的增益。所以量子计算机可达到经典计算机不能达到的解题速度，还可以解决经典计算机不能解决的某些计算复杂度很高的问题，如大数的质因子分解这一NP难解问题【9】【10】【11】。
2.2 量子遗传算法及其改进
量子遗传算法(QGA)是量子计算与遗传算法相结合的产物。它建立在量子的态矢量表述基础上，将量子比特的几率幅表示应用于染色体的编码，使得一条染色体可以表达多个态的叠加，并利用量子旋转门和量子非门实现染色体的更新操作，从而实现了目标的优化求解。它与经典遗传算法相比，区别在于采用量子比特编码方法、量子坍塌过程取代经典遗传算法的交叉操作以及量子变异的方法上。
2.2.1 量子比特编码
量子计算中，充当信息存储单元的物理介质是一个双态量子系统，称量子比特(qubit)。在量子遗传算法中，采用量子比特存储和表达一个基因。该基因可以为“0”态或“1”态，或它们的任意叠加态， 即该基因所表达的不再是某一确定的信息，而是包含所有可能的信息，对该基因的任一操作也会同时作用于所有可能的信息。
QGA使用一种基于量子比特的编码方式【12】，即用一对复数定义一个量子比特位。一个有k个量子比特位的系统描述为：  ，      ，            （2.3）  其中 是两个复数，是第i个量子比特的概率幅，其模满足归一化条件。 表示测

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