数码相机定位三维重建模型 第3页

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则在 中,如方程(2)所示的曲线L变为  (4)
两空间之间的仿射变换,可以简单的用曲线的仿射变换来表示,
设 , , ,一般的,无论成立 或者 ,都有      (5)及      (6)
是物空间V(平面 )到像空间 (平面 )的仿射变换,于是有
                                (7)
将上述表达式(7)带入曲线 的方程(4)得
 :         (8)
至此,已知曲线L经过仿射变换 后得到的曲线方程已经求出。
2.  为了求解问题的需要,必须将上述表达式(8)所示的曲线 的方程由像空间 重新“还原”到像平面 上,这就需要将像空间 重新分割成像平面和其他部分,即
 与 两部分。于是上述曲线 的方程(8)在像平面 中,在形式上存在完整的平面曲线方程的表达条件,因此,空间 中的曲线 的方程(8)也可以写成如下的形式  :                  (9)
以下对上述曲线 的方程(8)进行分析
情形一:当 时,曲线 是中心二次曲线[6],其中心坐标是像平面 上的原点 ;
情形二:而当 是,曲线 是非中心二次曲线,所以没有中心;
下面只对情形一,即 是中心二次曲线的情形展开研究, 由于三维重建后,二维平面上仿射性质的同素性得以保留,也就是说可以把二维的平面系统重新整合到三维空间上,及三维重建。所以像平面 上的原点 也要经过仿射变换 ,才能得到相对于像空间 及整个成像系统空间的点的坐标,由前面叙述的三维重建及仿射变换理论,在像空间中,曲线 的中心坐标是 ,重复以上的过程,可知该点在像平面 上的坐标是 ;
3.  数码相机的放大率与仿射不变量[7]的关系
由几何光学的成像公式,成像系统的物距v、像距u和数码相机的放大率m之间由以下的关系
                                (10)
而仿射不变量可以取仿射空间中封闭曲线面积的比值,将该比值与上述表达式(10)比较,结合成像系统的物理特性,可知m就是所选的仿射空间的仿射不变量。
3.1 物空间的数量关系
     首先由以上叙述的(4),(8)及仿射不变量的定义,仿射不变量可以表示为
                 (11)
又由                       (12)
根据对实验观测到的数据[见附录一],运用插值公式得
 =1.6805 , =0.9975 。           (13)
 , 即为1.3中要求的仿射不变量。
于是,圆心在像平面 上的坐标是   (14)   3.2如果有以A、B、C、D、E五点为圆心的圆,如图所示
 
ABCD是一个边长100mm的矩形,B在AC边上,且BC=30mm,圆的半径为12mm。由上述1、2、3论述的空间坐标系的建立方法,这里的边AC在y轴上,AE在x轴上,而A恰为物平面的坐标原点,那么显然这五点的坐标分别为
 、 、 、 、
由于数码相机是固定的,即高度h,视场角 是一个常数,根据对目前主流的民用数码相机性能参数数据的分析,能拍到的距离范围是 (单位是mm),最佳距离一般为15000mm,最佳的角度范围(视场角)是 ,不失一般性,不妨取h=15000mm,那么以上各点与 关系如下表所示
sin cos A 0 0 0 1
B 0.002 0.002 0.002 0.999998
C 0.006667 0.006667 0.006667 0.999978
D 0.002828 0.002828 0.002828 0.999996
E 0.006667 0.007 0.006667 0.999978
所以,将上述表中的数据带入坐标(13)得到像平面 上对应于A、B、C、D、E五点的像坐标分别为
(二)模型的精度和稳定性分析
 为检验上述模型的精度和稳定性,在排除相对误差的情况下,建立“双目立体视觉模型”(如图所示)对上述的三维重建模型进行逆向检验,三维重建是在
两个平面上,求取各自曲线的坐标及方程,利用仿射变换将二者结合起来,在结合的过程中,为了求取仿射不变量,使用了统计的方法。现换个角度,采取逆向

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