数码相机定位三维重建模型 第3页
则在 中，如方程（2）所示的曲线L变为  （4）
两空间之间的仿射变换，可以简单的用曲线的仿射变换来表示，
设 ， ， ，一般的，无论成立 或者 ，都有      （5）及      (6)
是物空间V（平面 ）到像空间 （平面 ）的仿射变换，于是有
                                （7）
将上述表达式(7)带入曲线 的方程（4）得
 ：         (8)
至此，已知曲线L经过仿射变换 后得到的曲线方程已经求出。
2.  为了求解问题的需要，必须将上述表达式（8）所示的曲线 的方程由像空间 重新“还原”到像平面 上，这就需要将像空间 重新分割成像平面和其他部分，即
 与 两部分。于是上述曲线 的方程（8）在像平面 中，在形式上存在完整的平面曲线方程的表达条件，因此，空间 中的曲线 的方程（8）也可以写成如下的形式  ：                  （9）
以下对上述曲线 的方程（8）进行分析
情形一：当 时，曲线 是中心二次曲线[6]，其中心坐标是像平面 上的原点 ；
情形二：而当 是，曲线 是非中心二次曲线，所以没有中心；
下面只对情形一，即 是中心二次曲线的情形展开研究， 由于三维重建后，二维平面上仿射性质的同素性得以保留，也就是说可以把二维的平面系统重新整合到三维空间上，及三维重建。所以像平面 上的原点 也要经过仿射变换 ，才能得到相对于像空间 及整个成像系统空间的点的坐标，由前面叙述的三维重建及仿射变换理论，在像空间中，曲线 的中心坐标是 ，重复以上的过程，可知该点在像平面 上的坐标是 ；
3.  数码相机的放大率与仿射不变量[7]的关系
由几何光学的成像公式，成像系统的物距v、像距u和数码相机的放大率m之间由以下的关系
                                （10）
而仿射不变量可以取仿射空间中封闭曲线面积的比值，将该比值与上述表达式（10）比较，结合成像系统的物理特性，可知m就是所选的仿射空间的仿射不变量。
3.1 物空间的数量关系
     首先由以上叙述的（4），（8）及仿射不变量的定义，仿射不变量可以表示为
                 （11）
又由                       （12）
根据对实验观测到的数据[见附录一]，运用插值公式得
 =1.6805 ， =0.9975 。           (13)
 ， 即为1.3中要求的仿射不变量。
于是，圆心在像平面 上的坐标是   （14）   3.2如果有以A、B、C、D、E五点为圆心的圆，如图所示
 
ABCD是一个边长100mm的矩形，B在AC边上，且BC=30mm,圆的半径为12mm。由上述1、2、3论述的空间坐标系的建立方法，这里的边AC在y轴上，AE在x轴上，而A恰为物平面的坐标原点，那么显然这五点的坐标分别为
 、 、 、 、
由于数码相机是固定的，即高度h,视场角 是一个常数，根据对目前主流的民用数码相机性能参数数据的分析，能拍到的距离范围是 （单位是mm）,最佳距离一般为15000mm,最佳的角度范围（视场角）是 ，不失一般性，不妨取h=15000mm,那么以上各点与 关系如下表所示
sin cos A 0 0 0 1
B 0.002 0.002 0.002 0.999998
C 0.006667 0.006667 0.006667 0.999978
D 0.002828 0.002828 0.002828 0.999996
E 0.006667 0.007 0.006667 0.999978
所以，将上述表中的数据带入坐标（13）得到像平面 上对应于A、B、C、D、E五点的像坐标分别为
（二）模型的精度和稳定性分析
 为检验上述模型的精度和稳定性，在排除相对误差的情况下，建立“双目立体视觉模型”（如图所示）对上述的三维重建模型进行逆向检验，三维重建是在
两个平面上，求取各自曲线的坐标及方程，利用仿射变换将二者结合起来，在结合的过程中，为了求取仿射不变量，使用了统计的方法。现换个角度，采取逆向

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