运动会临时超市网点设计与优化 第4页
对于每位观众可能有不同的消费方式，为了使问题简化，我们假定每位观众的消费额是相同的。这个消费额用所有消费者群体总的消费期望值来表示。用E表示 。若商场的盈利系数设为b。则对每位观众，商场可盈利为：bE。
商场建立的条件之一是满足购物需求的条件，很容易得到商场选择较大规模的MS易满足条件。但商场在设计的过程中，另外一个必须考虑的因素是商场兴建的费用。因为MS规模越大，数目越多，所需的费用也会越大，当然所获得的商业利润或回报的利润也就越大。所以我们必须在考虑能满足条件时兴建MS的费用。显然在此问题中，
对于任一商区 ，根据前面的定义，有效流量可以看成能够购买物品的观众的数目，因而观众在该商区消费而盈利为： ； 考虑兴建MS的费用为： 。因此该商区的净盈利为： - 。而由于需满足每个商区的人流的条件：
于是我们根据以上的分析讨论过程得到以下的数学模型：
目标函数：max -
约束条件： ， 均为整数
³0， ³0 （i=1,2¼¼20）
问题三模型的求解
（一） 求解各个商区的消费人流量
在求解消费人流量的时候，我们采用了Floyd算法来找出最短路径。我们先给出以下定义：首先构造邻接“伪距离”矩阵，他们点之间的距离：同一个赛区内的商区，距离为1，两赛区间的最近两个商区的距离为100。车站到达同一个站点最近的商区距离也为100（不管目测是否合理），其余距离为Inf（无穷大）.下面对消费人流量的求解算法进行介绍：
Step1：用Floyd算法寻找出各个交通工具停靠点到他所要到的的看台的最短路径所经过的所有商区点。
Step2：对每条最短路径上的商区的，计算其消费人流，并且加到该点的总的人流里。
Step3：看台是否到达完毕？如果不，则转到Step1出。
对于出场进餐的人流计算也采用上面的算法。最后把出场人流和入场人流相则得到总的流量
下表是计算得的各商区的人流分布百分比情况：
A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 A9 A10
0.0827 0.0316 0.0295 0.0350 0.0500 0.1539 0.0500 0.0350 0.0295 0.0316
B1 B2 B3 B4 B5 B6 C1 C2 C3 C4
0.0318 0.0253 0.0537 0.0253 0.0318 0.0932 0.0408 0.0441 0.0245 0.1009
（二）求解商区的超市设计方案
把 和 作为决策变量，赢利作为目标，模型便是一个较为简单的整数线形规划问题。但是由于 、 及 、 、a均为未知的量，需要我们根据实际情况加以确定，这些变量由市场调查可确定。
我们选取不同组数据对问题进行求解例如当选取数据如下：
=2000， =450，a=0.5， =50000， =12500
在满足题目约束的在条件即：各个商业区内的的MS的个数量基本均衡。我们发现 =2000， =450时，结果不够理想，不满足基本均衡的条件，于是我们对 ， 值进行调整，在多次的调整中，我们得到一个相对较好 ， 值，此时满足基本均衡的条件，即在 =2000， =390时。因此我们可以得到商场相对较优的网点的设计方案。（如下表所示）
表二： =2000， =390
编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
13 10 9 9 9 12 7 7 7 7 8 7 8 6 6 10 8 7 5 12
1 0 2 0 1 0 4 4 3 1 1 3 3 3 0 2 1 4 0 4
数目 14 10 11 10 12 11 11 11 10 8 9 10 11 9 6 12 9 11 5 16
此时得到的最大利润为1123.8万元。在 =2000， =390，MS总数的标准差为：D=2.4301这个值也较其它方案的标准差要小。比其它方案更优，其中在C4区MS的个数为最大，C3区MS的个数最少只有5个，但是各个区的超市总量上还是基本均衡的。对那些超市数量上相差太大的商区，我们可给予局部的调整。 我们在后面问题四的解答给与更进一步的说明。
问题四的解答
问题的科学性的阐明可以从一些假设进行科学性的证明出发，由此我们把阐明过程分成以下几个部分来讨论，每个部分分别对一个假设进行科学性的分析和阐述。
（一） 对观众购物欲望变化规律的讨论
购买决策常常是一个十分复杂的问题，顾客在做决策时要开展感觉、知觉、注意、记忆等心理活动，还要进行分析、推理、判断等一系列思维活动，而奥运会属于特殊的社会活动范畴，观众在这一特定范畴内，其消费心理有其特殊性。我们知道观众主要是来主场馆看比赛的，而发生的购物行为具有时间性，即在奥运会期间，甚至只在其中一天购物，所以在观众从交通工具停靠点到场馆再去餐饮的过程中，其购买时间的迟早取决于其空闲时间，即从即时到需要返回交通工具停靠点还剩余的时间。若观众空闲时间多，则想什么时候去买就什么时候去买；若空闲时间较少，则需尽快购买（此时遵循就近原则）。所以观众刚开始尚未意识到的需要，在经过一定时间或引发因素（例如某些纪念品），观众的这类购买需要就会慢慢转化为现实需要。由上述论证过程可知，本文在对购物变化规律的解释：路径的最开始端，欲望最低，然后随着其不断行走，购物欲望不断增强，直到到达目的地其欲望达到最大。是符合实际的。
（二）对购物欲望变化系数a的讨论
在建立欲望函数模型的过程中，由前面的分析我们知道，一个顾客在其行程路线上的各个的商区，其购买欲望服从一定的指数变化分布，于是我们人为地定义了a这样一个系数，并且其合理取值范围为[0，1]，上面已经证明了用指数函数和表示欲望的变化规律是合理的，现在证明欲望变化系数a取值范围的合理性和a对购物人流量的结果的变化规律。
我们分别用不同a值分别求得20个商区的消费人流量，并从中找出规律
a取1.1时 a取1.0时
a取0.9时 a取0.7时
a取0.5时 a取0.3时
a取0.1时 a取0.001时
从上图我们获得以下信息
首先，当a取值大于1时（a取1.1时），各个商区的消费人流量甚至超过了该商区总的人流量，这显然不符合实际。a取1的时候，顾客在行走路线上对各个商区的的购欲望是相同的，其消费人流量正好等于各商区的总人流量，所以a取值可以取等于1而不能取大于1的数，而顾客即使不想购物其购物欲望也是为0，不可能为负数，所以a的取值也不能取小于0的数。由此可见a的取值范围在[0，1]之间是正确的。
其次，由图可以看出，随着a的减小，各个商区的有效购物人流量越来越趋向于均衡。
得出了这样的结论后，应该怎样取a的值，使其能够较准确的反映了消费人流量的变化规律呢？我们在上面模型的计算对a的取值为2/3，现在我们来讨论。
若a值取太大，不满足均衡的条件。
若a值取太小，（如a=0.001）虽然其消费人流量在各个商区的分布非常均衡，但是其人流量分布得太平均，而且消费人流量太少（只有１万左右），显然与实际不太符合。
在a取较小值的时候，（如0.3~0.5）人的购买欲望从一个商区到另一个商区变化太快，有的甚至成倍的增长，而消费心理学上说一个人的购买欲望一般是缓和的增加的，由此可见，a这样的取值也不大符合实际。
经过验证分析，我们发现a=2/3时，各个商区的消费人流量基本上满足均衡的条件，而且求得人的购买欲望也是缓和的增长，这符合现实中的规律的。
（ 三 ）对模型中 和 的取值的合理性讨论
对于给定了大小商场的成本，来考虑商场的容量使商场所获得的利润最大是我们在设计商场必须考虑的一个问题。对于问题三中我们假定了 =50000， =12500。
为了考察 和 的合理取值，我们对 和 进行了多次的调整，通进比较得出 和 的最佳组合值下面就列举优化过程中其它几组数据为例：
表一： =2000， =370；
编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
13 10 9 9 9 12 8 8 7 7 8 8 8 6 6 10 8 8 5 13
3 2 3 2 2 1 0 0 4 2 3 0 4 1 4 4 2 0 0 1
总数 16 12 12 11 11 13 8 8 11 9 11 8 12 7 10 14 10 8 5 14
表二： =1900 =400；
编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
14 10 10 9 9 12 8 8 8 7 8 8 9 6 7 11 8 8 5 13
1 4 0 4 4 4 2 2 1 4 4 1 1 2 1 1 4 1 2 4
总数 15 14 10 13 13 16 10 10 9 11 12 9 10 8 8 12 12 9 7 17
表三： =2000 =400；
编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
13 10 9 9 9 12 8 8 8 7 8 7 8 4 7 11 8 7 5 13
3 2 3 1 2 6 0 0 0 2 2 4 4 6 0 0 2 4 0 1
总数 16 12 12 10 11 18 8 8 8 9 10 11 12 10 7 11 10 11 5 14
我们分别对上面两个表求标准差（标准差可以衡量出数字的集中程度，标准差越小，说明集中度越高） 得：D1= 2.7048，D2= 2.76971，D3=2.9961，可以看出后面两种组合显然没有原方案中的组合好，D1，D2、D3都大于D，这相当于平均每一个商区的超市总量的误差比原方案的误差要大。按此原则我们最终选择了原方案。所以我们的先择是合理的。再者我们需要对B5（6）、C3（5）、C4（16）的超市数量进行一定的细微的调整：将C4中的1个大MS和1个小的MS迁到B5，再将2个大MS和1个小MS迁到C3，这样的布局才显得更合理。MS的在各个商区的分配才更均衡。
（四）用雅典奥运会的一些数据对北京奥运会进行预测和对北京奥运会超市方案设计的建议1、对比较奥运会超市利润的预测：
刚刚结束的2004年第28届雅典奥运会的举办为北京奥运会提供了许多宝贵的经验和信息。对雅典奥