逢山修路问题数学建模
逢山修路问题数学建模
一，摘要
本题旨在通过对复杂地形的探索与分析，以及对资金费用的考虑，探索出一条逢山开路的最佳路线。最终找到一条最优路线建设方案，使花费最低。
我们的主要思路如下：从山脚经居民点到矿区，需要经过一个峡谷，并且有一条小溪，到达居民区，之后经过一条山脉到矿区。经过小溪的地方我们要修桥，因为考虑到山的坡度问题以及修桥的高价费用问题，我们需要寻找一条最适路线，由于公路有坡度的限制（ ），我们必须选择可行的一条道路通向山谷，并且尽量花费最少。修桥的地方我们也要考虑到坡度的可行性，以及结合水面最宽处与峡谷深度的那个函数，找出河面比较窄的点来修桥达到资金花费最少。之后考虑山峰修一条隧道，由已知条件，我们应尽量控制隧道长度在300米以内，因为超过300米花费就是一倍！通过对隧道长度，公路坡度，以及矿区高程的因素的考虑，我们选定了一条路线通过修隧道过山峰，再至矿区。
最后，我们通过用matlab作图，拟合函数计算路线长度，以及应用公路学以及城市规划的一些原理分析，提出了一种花费最小化的可行做法
关键词：隧道，桥，高程，坡度，资费
二，模型假设
我们认为逢山开路主要从路线及价钱考虑，寻找一种可行的路线同时又较为省钱，为这个问题的最佳方案。为简化该问题，我们先做出几点假设：
（1）、假设山体充分光滑。
（2）、不考虑路面宽度。
（3）、溪流的的最深处在x+y=4800，(2400≤x≤4800)上，且该直线为溪流的中线。
（4）、桥梁的长宽度为溪流的宽度。
根据对整个地形图及公路走向的认识，我们决定将公路分为四段来修：一是从起点（0，800）到小溪流，二是修桥及到居民点一端，三是从居民点到山峰这段，最后就是越过山到达矿区。
我们先建立一个空间三维的直角坐标系，x、y坐标同题目中一致，z坐标则表示对应给出的x、y坐标的点的高程。根据题中所给数据，我们将该地区的大致图形绘制如下：
下面是路段工程成本及对路段坡度α（上升高程与水平距离之比）的限制如下表：
工程种类 一般路段 桥梁 隧道
工程成本/（元/米） 300 2000 1500（长度≤300米）
3000（长度﹥300米）
对坡度的限制 α＜0.125 α=0 α＜0.100
第一段公路属于一般路段，由于这一段路的终点是桥梁，故要确定这一段路首先要确定桥梁的具体位置。
三，模型设计
（一）、桥梁位置的选取
我们已先假设溪流的中心连线在o-xy面上的投影为直线段x+y=4800(2400≤x≤4800)上，先假设桥梁的长度为小溪的宽度，小溪的宽度与（溪流最深处的）x的坐标关系可近似表示为：
由此可知，小溪的宽度随x的增加呈递增的关系。再从小溪左右公路对坡度要求，我们暂时确定小溪的位置在点 之间，因为小溪的直线方程从 点开始为： ，我们先假设在小溪中心高程z=800的地方修桥。在这样的高程上，我们找到小溪上对应的点为 ，由此算出溪流的宽度： 。因为桥的坡度为零，从这方面考虑，则桥的两个落点只能在点 这两点与A点的两条直线上确定，为了方便，我们做一个垂直于o-xy面，含直线 的剖面如下图， 为桥的两个落点，为了满足桥的宽度最接近小溪宽度，通过计算，我们求得 ，则桥的实际高程为855，桥的实际宽度为 82米。倒此，我们解决的桥梁问题。
（二）、第一段山路的优化设计
由题所给数据及上面对桥梁位置的找寻，我们可以知道这段路的始点为M（0，800，650），终点为 。通过对整个数据的观察及计算，我们需要在x=400,x=800的位置分别寻找高程z=700，750的点，为了简便计算，我们假设在x=400与x=800的地方，山形在两点间呈直线，那么我们可以得到这样两个点 我们用分段直线连接 ，这里 ,记该段曲线的长度为 。在y=400这个平面上，我们在x=1200到x=2400直接修路是可行的，于是根据题中所给数据，我们以合一条山体曲线，即公路的曲线如下图所示（由于横纵坐标的选取间隔不一样，故看起来较为陡峭，实际不然）：
该曲线的函数为：z=-2.0642e-8*x^3+3.125e-5*x^2+0.19167*x+570，x在1200到2400之间，记该段曲线的长度为 。
现在解决该段曲线最后一段，通过对数据的观察，我们认为该段曲线应该要经过 这点。通过对坡的计算，发现这样走是可行的。我们就直接用几段线段来连接这几点，记该部分曲线的长度为 。
则第一段公路的长度为 4124.2 806