黄金分割和斐波那契数 第2页
同样我们也有等式（k★）n+2=（k★）n+1+（k★）n。
由这二个等式，读者容易获得下面的等式：
则我们得到
而对于n≥3，我们有Fn=Fn-1+Fn-2，因此我们的数列F1，F2，F3，F4，…事实上就是斐波那契数列。我们有了斐波那契数列的一般项用黄金数的表示式：F2，F3，F4，
这个公式是在一百多年前由法国数学家敏聂（JacquesPhillipeMarieBinet1786—1856）发现，所以称为敏聂公式。这公式在研究斐波那契
数列的性质时很重要。我们现在看这公式的一些奇异现象，我们知
数表示这真是奇特。另外方面，当我们用敏聂公式来计算一些斐波那契
无理数（-k★）可以表示成一个最简单的无穷连分数：
斐波那契数又和我们以前介绍过的贾宪三角形有密切的关系。读者请参看（图四），在贾宪三角形的第n列（在这图里取n=10），然后由1为起点画一条线和水平方向成45度的角，这条线上所经过的数的和就是斐波那契数列的第n项。
例如在图四里，我们有F10=1+8+21+20+5=55
我们现在定义一个整数函数[]：R（实数集合）→Z（整数集合），对于任何实数x，[x]是最大的整数不超 数学上很有用，读者以后会再遇到它。
我们介绍这个函数的目的是要用二项式系数来表示斐波那契数，对于任意斐波那契数Fn+1我们有公式
例如读者在贾宪三角形的第五列由1为起点画一条和水平方向成45度的角的线，我们看到它经过1，3，1，刚好就是
斐波那契数列有一个很奇怪的性质，很早就引起人们注意：你拿一个固定的正整数（比如说4），然后以这数来除所有的斐波那契数，把每个斐波那契数的余数写下来，你会发现到这些余数组成的数列会有周期（Period）现象出现。（对4来除的情形，你获得1，1，2，3，1，1，1，1，2，3，1，0，1，1，2，3，…等等。）
在19世纪时法国一个数学家鲁卡斯（E．Lucas）在研究数论的素数分布问题时发现和斐波那契数有些关系，而他又发现一种新的数列：1，3，4，7，11，18，29，47，76，123，199，322，521等等。这数列和斐波那契数列有相同的性质，第二项以后的项是前面二项的和组成。数学家们称这数列为鲁卡斯数列。
鲁卡斯数和斐波那契数有密切的关系，例如对于任何的整数n，我们用Ln表示第n个鲁卡斯数，那么我们恒有Ln×Fn=F2n。而鲁卡斯数的一般项也有类似敏聂公式的公式。这里我们留下不考虑，请对数学有兴趣的读者自己试找找看。
生物学和物理学上的斐波那契数
斐波那契数列并不是单纯出现在“生兔子问题”。大自然里一些花草长出的枝条也会出现斐波那契数，有一种叫着“喷嚏麦”（Sneezewort的直译，可能会像鲁迅指出的闹“牛奶路”Mikyway的笑话，希望懂植物学的读者赐以正确的中文名）的花草，新的一枝从叶腋长出，而另外的新枝又从旧枝长出来，老枝条和新枝条的数目的和就像那兔子问题一样。（看图五）
植物学家对于植物的叶子生长分布的情形发生兴趣，他们发现对同一类植物，它们的“叶分歧”（Leafdivergence）是一样的。从一片叶看起，你看在它上面要多少叶才刚好有一片叶长在和它相对同样位置，这数目写为p，另外看这些叶子是对茎来讲转了多
植物学家发现植物的叶分歧是和斐波那契数有关系。普通的草和菩
隔，它们能得到阳光照射进行光合作用，而且呼吸的较好。这真是奇妙
在物理上斐波那契数也出现。假定我们现在有一些氢气原子，一个电子最初所处的位置是最低的能级（Groundleverofenergy），属于稳定状态。它能获得一个能量子或二个能量子（Quantaofenergy）而使它上升到第一能级或者第二能级。但是在第一级的电子如失掉一个能量子就会下降到最低能级，它如获得一个能量子就会上升到第二级来。
现在研究气体吸收和放出能量的情形，假定最初电子是处在稳定状态即零能级，然后让它吸收能量，这电子可以跳到第1能级或第2能级。然后再让这气体放射能量，这时电子在1级能级的就要下降到0能级，而在第2能级的可能下降到0能级或者第1能级的位置去。
我们在图六列出：吸收、放出、吸收、放出、吸收、放出这六个过程中电子能级可能的变化情形。读者可以看到电子所处的状态可能的情形是：1、2、3、5、8、13、21…种。这是斐波那契数列的一部份。而电子所处能级的或然率在这几种情况下又是和斐波那契数有关！