Vague模糊熵及其性质
Vague模糊熵及其性质
Vague熵及其性质
摘要：在实际生活中，我们经常遇到许多不确定事件，也即模糊事件。这些事件难以用明确的界限加以区分状态和结果，例如“高矮”、“胖瘦”、“年长年幼”等都是很模糊概念。对于这些模糊事件进行定量分析，考察它们的模糊性，研究它们的性质和计算从中获取的信息量，将对我们深刻认识模糊事件有很大的帮助，特别是在处理事情时需要做出重大决策的时候。
在1965年，Zadeh首先提出了模糊集理论，随后几十年中，它得到了不断地发展和完善，并在多个领域中得到了广泛的应用，同时模糊熵的概念应运而生。但模糊集的隶属函数值是一个单一值，不能同时表示支持与反对的证据，于是Vague集上熵定义的提出更好地来处理这个问题。通过介绍Vague熵的发展，重新定义一套Vague熵来详细说明模糊事件的信息量。
关键词：模糊集 模糊熵 隶属度 隶属函数 Vague集 Vague熵
一、知识基础：
1、模糊集与模糊熵相关定义
定义1模糊集：设 是定义域， 中任意元素 对 都有一个实数 与之对应，则称 为 上的模糊集， 为 对 的隶属度，而当 在 中变动时， 就是一个函数，称为 的隶属函数。隶属度 越接近于1，表示 属于 的程度越高， 越接近于0表示 属于 的程度越低。用取值于区间 的隶属函数 表征 属于 的程度高低。举一个例子， =表示模糊集“身高较高”的隶属函数， 表示模糊集“身高较高”，当身高 时 表明 不属于模糊集 （即“身高较高”），当 时， 表明 完全属于 ，当 时， ，且 越接近 ， 越接近1， 属于 的程度就越高。这样的表 达方法显然比简单地说：“ 以上的人是高的， 以下的人就是矮的”更为合理。
定义2模糊熵：在 上课时讲过，香农定义了概率分布为 的熵为 ，对于0-1分布来说，熵公式为： ，通过这个可以粗略描述信息的不确定性。Renyi曾经定义了概率分布为 的 序熵为： 称为模糊熵。
但是从模糊熵的定义中来看，根本不能从根本上来说明问题模糊性信息的明确度量，它只是从直觉上定义的一种对模糊事件的确定，而不能从本质上去描述。与模糊集不同的是Vague集同时提供支持与反对的证据，因而它的模糊熵来自两方面，即未知信息和不确定性信息下面我们提出Vague集的定义和Vague熵来进一步刻画模糊事件的信息量。
定义3 Vague集：设 是一个空间点集合（可以是离散点集合也可以是连续点集合），其中的任意点可以用 表示。对于Vague集Vague集 定义在 上可以用一个真隶属函数 和一个假隶属函数 表示， 是从支持 的证据导出 的肯定隶属度下界，即 是从反对 的证据所导出 的否定隶属度的下界。同时， ， 构成 的子区间，而 ，它用来刻画表示未知信息的隶属度，也即 对Vague集的犹豫程度。例如 ，即 ， 则在投票模型中可解释为100人中30人赞成40人反对30人弃权。
下面我将分不考虑未知信息 和考虑未知信息 两个方面来重新定义Vague集的熵，通过与别人的比较来研究新定义的Vague熵。
二、创建新定义的熵
模型一：不考虑未知信息 时的情况：此时对 关于 的隶属度为
首先，先介绍下不考虑 时Vague熵的基本性质，通过基本性质来比较研究不同定义的Vague熵孰优孰劣。
性质1 （1） ，即 和 表示的是相互对立的事件发生可能性。
（2）当 或 时，事件就变成了一个确定事件，此时 为非模糊事件。
性质2两个Vague集 和 是相等的，即 ，当且仅当对 有
性质3 Vague集 的补集 ，定义为：
下面我们定义Vague熵，引述Szmidt和Kacprzyk给出的直觉模糊集熵的公理化
定义：
定义4 称函数 ： 为Vague集 的熵，如果它满足如下条件：
（1） 当且仅当 ；
（2） 当且仅当 ，有
（3）当 时，若 且
或当 时， 且 时，有
（4）一个Vague集的模糊熵和它的补集的模糊熵是相等的，即
基于定义4，有些学者提出了这样一套Vague熵：
Vague熵定义1：首先将Vague集转化为模糊集，再计算转化后的模糊集的模糊熵，596