基于提升小波的图像型火灾检测技术 第6页
2，b0，平移参数b=2，气k，k02。若再取b0=l，则得到的小波和小波变换称为二
进正交小波和二进正交小波变换。因此，离散二进小波函数为:
，，，，八_。万，，I门，，竹，*(t)=2/，笋(2，t一k)(3一4
以上离散化并没有针对时间变量t，因而t仍然是连续的，所以这时离散小波
变换相当于小波变换畔(a，b)在。=2，，b=Zjk处的离散值:
畔(j，k)=厂、(;)梦:，(，)dt(3
这种离散小波变换也称为连续时间小波序列。
在实际应用中，信号大多是经采样得到的一系列离散值，因此小波变换的对
象通常是些离散的数据序列。这种对离散时间信号进行的小波变换称为离散时间
小波变换，通过尺度函数和小波函数对输入序列作数字滤波来实现。
离散参数刁、波变换系数cj，、=(f(t)，竹，*(t))为连续时间函数的内积，不禾」于
字计算机计算。Mallat提出了一种高效快速的算法，即Mallat算法，该算法用于
计算正交基下的小波变换分解系数。
其中
二(。)一凳华。一，G(。)一货粤。一孟二二VZ人二二VZ
这样，马一，和艺一，是马和从k)·承k)分别做卷积后每隔一项做采样而得到的
滤波器从k)将滤除内积序列cj的高频部分，而奋(k)是高通滤波器，收集余下的
频。重构公式(3一8)是一个插值，对称，和乓一，插入零进行扩充，而后通过滤波并相
加得到cj。
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对于二维情况，可以分别对行向量和列向量进行一维的小波变换，同时分别
对列和行进行间隔采样实现，分解过程如图3.l(a)所示。若输入数据是一幅图像，
则图像被分解成四个尺寸分别为原图的四分之一的子图，它们对应于四个频带，
如图3.1(b)所示。
(b)分解结果
图3.1二维小波变换
(3)小波基可能具有的性质
小波基的性质大致包括五个方面:正交性、对称性、消失矩、正则性和紧支
性。
正交性:是小波基的一个非常优良的性质，用正交小波基进行多尺度分解得
到的各子带数据分别落在相互正交的子空间中，使各子带数据的相关性减少，这
有利于数值计算和数据压缩。为了解决线性相位问题，一般放宽正交性条件为双
正交，双正交条件则放弃了对偶滤波器的正交条件，只保留前两个交叉正交条件
实际中双正交小波常具有非常好的性能。
对称性:在图像信号处理中，对称或反对称的尺度函数和小波函数是非常重
要的，对称性能避免信号在分解与重构中的失真。可以证明，除了Haar基外，所
有具有紧支集的实正交小波基是不对称的，双正交小波可以具有对称性。
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消失矩特性:消失矩阶数描述了小波函数相对于尺度函数的振荡性质，阶数
越高，小波函数振荡越剧烈，并可通过小波变换将该振荡性质传递到小波域内。
而且小波函数的消失矩越高，使得图像小波分解的高频细节分量中就有更多的系
数为O或接近于O，也就是存在很多可以被忽略的奇异点，从而能量集中特性越好，
这对图像的边缘检测和压缩编码很重要。
正则性:是函数光滑程度的一种描述，是函数频域能量的一种度量。一般来
说，尺度正则性越高，常常小波函数的消失矩也越高，小波更光滑，图像边缘检
测和压缩效果越好。
紧支性:支集越小的小波，局部化能力越强，不需要作截断，也就无截断误
差，所以精度比较高，在信号的突变检测和图像的边缘检测中，紧支小波基是首
要选择，但紧支性于正则性是一对矛盾，常常需要作适当的权衡。
3.1.2基于提升方案的小波变换
相对于Mallat算法而言，提升算法是一种更快更有效的小波变换方法，它不
依赖傅立叶变换，可以在空间域直接计算小波系数12’]l22]。提升算法主要有两方面
的应用。首先，它可以用来实现己经存在的小波。Daubeehies和Sweldens己经证
明123]，任何离散小波变换或者具有有限长滤波器的双通道子带滤波都可以分解成
为一系列的提升步骤，所有能够用Mallat算法实现的小波变换，都可以用提升算
法来实现。因此，从这个层面来讲，提升算法只是一种新的实现小波变换的的方
法，信号在小波变换后的性质只取决于所使用的小波，而与提升算法本身无关。
其次，提升算法能够构造新的小波。虽然，某个具体的设计可能会使提升算法等
同于某个第一代小波变换，但从本质而言，提升算法这一层次的运用属于第二代
小波变换的范畴。
一般提升小波分解过程包括有三部分:分割、预测和更新[2’1。假设有一时间
序列凡，首先将其分割为两个子部分:凡，和厂_，。通常应用奇偶采样的方式进行
分割，使两个子序列具有强相关性:
(凡l，凡l)=凡(3一12
第二步，用序列凡，预测入，，目的使后者中的信息含量尽可能少，从而可以实
现用尽量少的信息完全表示原始序列。设预测算子为P()，预测过程为:
儿，=P(凡、)(3一13
实际操作中，尽管很难用凡，完整地预测r一、，但P(凡，)却已很接近r-l
用二者之间的差来代替大，:
这样
(3一14
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在预测算子P(·)设计比较理想的情况下，2_，含有很少的信息量。这样就可以
用较为简洁的{凡，，r--，}来表示原始序列凡。从这里可以看出在分割的步骤中要求分
割后的两个子序列强相关的原因在于:两个序列相关性越强，预测算子的设计就
越方便，而且预测性能也更好。这个步骤在提升方案中被称为对偶提升。
经过上述分割、预测的步骤以后，凡，的一些统计量(如均值)会相对凡出现变
化所以在预测步骤之后，需要对凡，进行更新，使其统计量与原始数据相同。设
计更新算子U(.)，用凡，来更新凡，:
凡】=凡l+U(大，)(3一15
这一步在提升方案中被称为原始提升。
以上三个步骤完成了一层的提升分解，过程如图3.2所示。
图3.2提升分解结构示意图
提升分解的逆变换只需要把分解过程倒回来，并把加减互换。逆过程也分为
三个阶段:恢复更新、恢复预测和合并。逆过程如图3.3所示。
图3.3提升重构结构示意图
提升分解和重构过程可以递归的进行，逐次对凡，进行分解，得到凡(j+1)和
r--(j+】)，以完成对原始序列的多级分解。这样凡，形成了对原始序列近似部分的分解
而大，则形成细节部分。总之，对序列的n次提升计算过程为:

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